【BZOJ 1485】有趣的数列

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5

对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

【题解思路】

类比合法括号序列，可知要求卡特兰数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(k,i,j) for(int k = i;k <= j; ++k)
#define FOR(k,i,j) for(int k = i;k >= j; --k)
inline int read(){
    int x = 0,f = 1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f; 
} 
const int mxn = 2e6+5;
int n,p; 
inline void file(){
    freopen("dotp.in","r",stdin);
    freopen("dotp.out","w",stdout);    
}
/*
thought1 
1.线性筛筛出所有1~n之间的质数并用桶计数 
2.对n+2~2*n进行质因数分解对应数量减少 
复杂度太高，比递推复杂度都要高 
thought2 
1.处理出从1~2*n的所有质数，对质因子从小到大标号 
2.处理出从1到当前数为止的质数的个数，
    tot[x]表示从1~x内质数的标号到了tot[x]个，从1~x有tot[x]个质数
3.利用同样的质数，下标不变，进行桶的计数。 
*/ 
int cnt[mxn],tot[mxn];
inline void in(){
    n = read(),p = read();
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
}
int prime[mxn];
bool v[mxn];
int m = 0;
inline void getpri(){
    memset(v,0,sizeof(v));
//    int m(0); 
    rep(i,2,2*n){
        if(v[i]==0){//i是质数 
            prime[++m] = i;//第m个质数是i
            tot[i] = m;//计算到i已经有m个质数用于标号 
        } 
        for(int j = 1;j<=m && prime[j]*i<=2*n; j++){
            v[prime[j]*i] = 1;
            tot[prime[j]*i] = j;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
inline void prewor(int x,int num){
    while(x!=1){
        cnt[tot[x]] += num;
        x /= prime[tot[x]];
    }    
}
ll ans = 1;
inline void wor(){
    FOR(i,2*n,n+2) prewor(i,1);
    rep(i,1,n) prewor(i,-1);
    rep(i,1,m) 
        while(cnt[i]--) ans = (ans*prime[i])%p; 
} 
inline void print(){
    printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
//    file();        
    in();
    getpri();
    wor(); 
    print();
    return 0;
}