【BZOJ4031】小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

【题解】

果果的矩阵树定理

构造邻接矩阵与度数矩阵之差的矩阵，求行列式；

由于：任意一行乘以一个常数加到另一行，矩阵的行列式不变。

又知：三角矩阵（上三角及下三角矩阵）的行列式就是它对角线上所有元素的乘积。

所以求出三角矩阵求行列式即可。

【code】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back 
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define file(s) freopen("s.in","r",stdin),freopen("s.out","w",stdout)
#define rep(k,i,j) for(int k = i;k <= j; ++k)
inline int read(){
    int x = 0,f = 1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f; 
} 
const int mxn = 100+3;
const int mod = 1e9; 
int n,m,tot;
int s[mxn][mxn];
ll c[mxn][mxn];

inline void in(){
//    tot = 0;
    n = read(),m = read();
    rep(i,1,n){
        char ch;
        rep(j,1,m){
            cin >> ch;
            if(ch=='.') s[i][j] = ++tot;
        }
    }
} 
inline void add(int x,int y){
    if(x>y) return;
    c[x][x]++,c[y][y]++;
    c[x][y]--,c[y][x]--;
} 
inline void prewor(){
    rep(i,1,n){
        rep(j,1,m){
            if(!s[i][j]) continue;
            if(s[i-1][j]) add(s[i][j],s[i-1][j]);
            if(s[i+1][j]) add(s[i][j],s[i+1][j]);
            if(s[i][j-1]) add(s[i][j],s[i][j-1]);
            if(s[i][j+1]) add(s[i][j],s[i][j+1]);
        } 
    }
}
inline int gauss(){
    int ans = 1;
    for(int i = 1;i < tot; ++i){
        for(int j = i+1;j < tot; ++j){
            while(c[j][i]){
                int rate = c[i][i]/c[j][i];
                for(int k = i;k < tot; ++k)
                    c[i][k] = (c[i][k]-rate*c[j][k]+mod)%mod;
                swap(c[i],c[j]);
                ans = -ans;
            }
        }
        ans = (ans*c[i][i])%mod;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}
inline void print(){
    printf("%d\n",gauss());
}
int main(){
//    file();
    in();
    prewor();
    print();
    return 0;
}