sagemath密码学
sage学习
1.基本的环和域
整数域,有理数域和实数域
ZZ(3)
QQ(0.25)
RR(2^0.5)
生成虚数单位i
i=ComplexField().gen();(2+i)*(4+3*i)
复数域
CC(1,2)
构造多项式环
返回具有给定属性和变量名的全局唯一的单变量或多元多项式环
定义在整数域上的多项式环R，变量为w ; ZZ也可换成其他数域
R.<w> = PolynomialRing(ZZ)
(1 + w)^3
有限环
RN=IntegerModRing(63) ; RN
FR=Integers(17) ; FR
自身的代数扩展
exR=FR[w]/(w^2+3)
exR=FR.extension(w^2+3) ; exR
以python整数的形式返回所有可逆元素的列表
FR.list_of_elements_of_multiplicative_group()
假设环的乘法群是循环的，返回这个环的乘法群的生成元
FR.multiplicative_generator()
返回这个环的一个随机元素
FR.random_element()
上述几种方法对如下的域同样支持
#有限域
#素数域
G1=GF(37);G1
#伽罗瓦域 G2=GF(3^5);G2
2.数论基本函数
同时求商与余数
q,r=divmod(12,5)
求公约数
d=gcd(12,5)
扩展欧几里得算法
d,u,v=xgcd(12,5)
print("d:{0} u:{1} v:{2}".format(d,u,v))
12在模5下的逆
u=inverse_mod(12,5)
生成[lb,ub)之间的随机素数
注意ub在前,lb在后,lb可缺省为0
可通过这种方式生成128位的随机素数
p=random_prime(2L**128,2L**127)
判断是否为素数
is_prime(65537)
第20个素数
nth_prime(20)
计算x^y mod n
z=power_mod(12,5,17)
z=pow(12,5,17)
欧拉函数
euler_phi(111)
中国剩余定理
A=[a1,...,an] , M=[m1,...,mn]
ai = x mod mi , i = 1,...,n
crt([1,2,3,4],[7,5,12,23])
求自身的n次根
FR(12).nth_root(7,all='True')
求多项式的根
roots方法必须作用在域上
R.<x> = PolynomialRing(G1)
xt=G1(12)
yt=xt^6
f=x^6-yt
f.roots()
求离散对数
\[x^{2} \equiv 5 \bmod 41
\]
x=mod(5,41)
r=x.nth_root(22)
输出表达式近似值
result=pi^2
result.numerical_approx()
素数分布（Pi(x)）
\[\frac{\pi(x)}{x / \operatorname{In}(x)}
\]
result=prime_pi(1000)/(1000/log(1000))
result.numerical_approx() #1.16050288686900
创建整数域中的椭圆曲线
\[y^{2}=x^{3}+a_{4} x+a_{6}
\]
a4=2;a6=3;F=GF(7);
E=EllipticCurve(F,[0,0,0,a4,a6])
print(E.cardinality()) #6
print(E.points()) #[(0 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 6 : 1), (3 : 1 : 1), (3 : 6 : 1), (6 : 0 : 1)]
创建点
point1=E([2,1])
point2=E([3,6])
print(point1+point2)#(6 : 0 : 1)
print(point1-point2)#(2 : 6 : 1)
3.线性代数
定义矩阵，默认定义在实数域
A = matrix([[1,2,3,5],[3,2,1,2],[1,1,1,0],[3,7,2,2]])
A^-1
定义在其他域上的矩阵，如有限域
A = matrix(GF(13),[[1,2,3,5],[3,2,1,2],[1,1,1,0],[3,7,2,2]])
A^-1
可以看到两个逆矩阵不一样
定义向量
定义在有限域，默认定义在实数域
w = vector(GF(13),[1,1,4,3])
Y=A*w;Y
Z=w*A;Z
解线性方程组AX=Y
X = A.solve_right(Y);X
#也可以使用符号
AY
#解线性方程组XA=Y
X = A.solve_left(Z);X
格基约减
A = matrix([[1,2,3,5],[3,2,1,2],[1,1,1,0],[3,7,2,2]])
#LLL算法
A.LLL()
#BKZ算法
A.BKZ()
4.离散椭圆曲线
以国密SM2算法使用的椭圆曲线为例；
p=ZZ('FFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFF',16)
a=ZZ('FFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF00000000FFFFFFFFFFFFFFFC',16)
b=ZZ('28E9FA9E9D9F5E344D5A9E4BCF6509A7F39789F515AB8F92DDBCBD414D940E93',16)
#有限域GF(p)上的椭圆曲线y^2 = x^3 + a*x + b mod p
E=EllipticCurve(GF(p),[0,0,0,a,b])
#基点
g=E([ZZ('32c4ae2c1f1981195f9904466a39c9948fe30bbff2660be1715a4589334c74c7',16),ZZ('bc3736a2f4f6779c59bdcee36b692153d0a9877cc62a474002df32e52139f0a0',16)])
#基点的阶
n=ZZ('FFFFFFFEFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF7203DF6B21C6052B53BBF40939D54123',16)
#生成密钥
sk=random_prime(2*n//3,n//3)
#生成公钥
G=sk*g
5.离散对数
前言：求解以base为底，a的对数；ord为base的阶，可以缺省，operation可以是'+'与''，默认为''；bounds是一个区间(ld,ud)，需要保证所计算的对数在此区间内。
#通用的求离散对数的方法
x=discrete_log(a,base,ord,operation)
#求离散对数的Pollard-Rho算法
x=discrete_log_rho(a,base,ord,operation)
#求离散对数的Pollard-kangaroo算法(也称为lambda算法)
x=discrete_log_lambda(a,base,bounds,operation)
#小步大步法
x=bsgs(base,a,bounds,operation)
6. coppersmith算法
使用sage实现coppersmith相关攻击，GitHub链接
最后，sage的官方文档链接
