Petrozavodsk Summer-2015. Ivan Smirnov Contest 1 B Bloom

http://opentrains.snarknews.info/~ejudge/team.cgi?contest_id=001463

题目大意：
给出$n$个$x$，$m$个$y$，问有多少个hash函数 $y \equiv Ax + B (mod \ p)$, $p$是质数使得对$x$的集合加密后得到$y$的集合。

 

题解：

首先将所有$x$ mod $p$后去重。 剩下$n$个不同的$x$，$m$个不同的$y$。

ps: 以下公式均在mod p域下，因此省略mod p。

如果$A = 0$，那么只可能$m = 1$， $B = y_0$

如果$A \neq 0$，因为p是质数，所以$A * x_i  \neq A * x_j$.    那么必须$ n = m $

如果hash函数没有那个$B$，只有$y = Ax$怎么做呢？

考虑将每个数写成原根$g^i$的形式。

定义数组s, s[i] = 1 当且仅当 存在某个$x$，$x = g^i$.

定义数组t, t[i] = 1 当且仅当 存在某个$y$，$y = g^i$.

一个$A = g^k$合法当且仅当将s数组循环右移$k$位和t数组重合。 

只要将t数组复制一遍做一次kmp就可以求出所有的$k$了。

再考虑如何把B给算进去.

假设$ y_i = A * x_i + B $. 两边对$i$求和。

记$sx = \sum\limits_{i=0}^{n - 1}x_i$,  $sy = \sum\limits_{i=0}^{n - 1}y_i$

那么有$sy = A * sx + n * B$,  $ B = \frac{sy - A * sx}{n}$ 是唯一的！

令$x_{i}^{'} = x_{i} - \frac{sx}{n}$  $y_{i}^{'} = y_{i} - \frac{sy}{n}$  

问题就转化为$y_{i}^{'} = A * x_{i}^{'}$  这两个问题是完全等价的.

另外还有一些小细节：比如n = p的时候，分母n是没有逆元的，所以要特判断。

还有如果存在某个$x_{i}^{'} = 0$, 不存在某个$y_{i}^{'} = 0$ 或者反过来，都是无解的。（0不能表示为$g^i$, 所以也要特判）。

 

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MP make_pair
#define MAXN 1000010
int mod;
vector<int> xi, yi;
vector<pair<int, int> > ans;

inline int add(int x, int y){return (x + y) % mod;}
inline int sub(int x, int y){return (x - y + mod) % mod;}
inline int mul(int x, int y){return 1ll * x * y % mod;}

int power(int x, int p)
{
    int res = 1;
    for (; p; p >>= 1)
    {
        if (p & 1) res = mul(res, x);
        x = mul(x, x);
    }
    return res;
}

int inv(int x)
{
    return power(x, mod - 2);
}

int find_proot(int p)
{
    static int pr[MAXN];
    static int flag[MAXN];
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i)
    {
        if (!flag[i]) pr[++pr[0]] = i;
        for (int j = 1; j <= pr[0] && i * pr[j] < MAXN; ++j)
        {
            flag[i * pr[j]] = 1;
            if (i % pr[j] == 0) break;
        }
    }
    
    int g = 2;
    while (true)
    {
        int fl = 1, pp = p - 1;
        for (int i = 1; i <= pr[0] && pr[i] <= p; ++i)
        {
            if (pp % pr[i] == 0 && power(g, pp / pr[i]) == 1)
            {
                fl = 0;
                break;
            }
        }
        if (fl) return g;
        
        ++g;
    }
    return -1;
}

vector<int> calc_shift(int *s, int *t, int len)
{
    static int nxt[MAXN];
    nxt[0] = nxt[1] = 0;
    int j;
    for (int i = 2; i <= len; ++i)
    {
        j = nxt[i - 1];
        while (j && s[j] != s[i - 1])
            j = nxt[j];
        nxt[i] = s[i - 1] == s[j]? j + 1: 0;
    }
    
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        t[len + i] = t[i];
    
    j = 0;
    vector<int> res;
    for (int i = 0; i < 2 * len - 1; ++i)
    {
        while (j && t[i] != s[j])
            j = nxt[j];
        if (t[i] == s[j]) ++j;
        if (j == len)
        {
            j = nxt[j];
            res.push_back(i - len + 1);
        }
    }
    return res;
}

void solve(int n, int m, int p)
{
    if (n < m) return;
    if (m == 1) ans.push_back(MP(0, yi[0]));
    if (n != m) return;
    if (n == p)
    {
        for (int a = 1; a < p; ++a)
        {
            for (int b = 0; b < p; ++b)
                ans.push_back(MP(a, b));
        }
        return;
    }
    
    int _n = inv(n);
    int sx = 0, dx;
    int sy = 0, dy;
    
    for (auto x: xi) sx = add(sx, x);
    for (auto y: yi) sy = add(sy, y);
    dx = mul(sx, _n);
    dy = mul(sy, _n);
    
    int g = find_proot(p);
    static int lg[MAXN];
    memset(lg, -1, sizeof(lg));
    for (int i = 0; i < p - 1; ++i)
        lg[power(g, i)] = i; 
    for (int i = 1; i <= p - 1; ++i)
        assert(lg[i] != -1);
    
    static int s[MAXN];
    static int t[MAXN * 2];
    
    int x_zero = 0, y_zero = 0;
    for (auto x: xi) 
    {
        if (x == dx) ++x_zero;
        else s[lg[sub(x, dx)]] = 1;
    }
    for (auto y: yi) 
    {
        if (y == dy) ++y_zero;
        else t[lg[sub(y, dy)]] = 1;
    }
    if (x_zero != y_zero) return;
    
    vector<int> a_list = calc_shift(s, t, p - 1);
    for (auto a: a_list)
    {
        a = power(g, a);
        int b = mul(sub(sy, mul(a, sx)), _n);
        ans.push_back(MP(a, b));
    }
}

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n, m, p, x, y;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &p), mod = p;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        scanf("%d", &x);
        xi.push_back(x % p);
    }
    for (int i = 0; i < m; ++i)
    {
        scanf("%d", &y);
        yi.push_back(y);
    }
    sort(xi.begin(), xi.end());
    xi.erase(unique(xi.begin(), xi.end()), xi.end());
    
    sort(yi.begin(), yi.end());
    yi.erase(unique(yi.begin(), yi.end()), yi.end());
    
    n = xi.size();
    m = yi.size();
    
    solve(n, m, p);
    
    printf("%d\n", ans.size());
    for (auto vv: ans) printf("%d %d\n", vv.first, vv.second);
    
    
    return 0;
}