有向图 加最少的边 成为强连通分量的证明 poj 1236 hdu 2767

poj 1236：

题目大意：给出一个有向图, 任务一： 求最少的点,使得从这些点出发可以遍历整张图  任务二： 求最少加多少边 使整个图变成一个强连通分量。

 

首先任务一很好做, 只要缩点 之后 求 入度为0的点 的个数就好了。   因为 缩点后无环，任何一个 入度不为0的点, 沿着入边 倒着走回去一定可以到达一个入度为0的点。

任务二：

首先给出结论： 如果整个图已经是一个强连通分量,那么答案是0.  否则求出 缩点后入度为0的点和出度为0的点的个数a,b, 答案就是 max(a,b).

今天复习图论,第二次做这题了。 记得当时也不是很明白为什么这样是对的，网络上其他人的blog也都找不到证明。 这次觉得不能就这样放过,于是搜到原题的出处是IOI 1996, google到了 当年的官方题解：  http://wiki.ioinformatics.org/w/images/8/81/Ioi96net_sol.pdf

 

下面让我用自己的话翻译一下：

定义图G的一个dominator set(和传统的支配集定义好像不太一样？)为一个点集S1,图G的任意一个点都可以从S1集中的某个点出发到达。

定义图G的一个codominator set为一个点集S2,图G的任意一个点都可以到达S2集中的某个点。

 

设最小的dominator set是S1,最小的codominator set是S2。

根据定义很容易知道这里的S1就是任务一求出的那些点, S2就是把所有边反向之后任务一求出的点。

所以|S1| = 入度为0的点的个数  |S2| = 出度为0的点的个数

显然 $所需要的加的边数 >= max(|S1|, |S2|)$  因为一个强联通分量没有入度或者出度为0的点。

下面证明所需要的加的最少的边数是 $max(|S1|,|S2|)$ :

 

不妨假设$ |S1| <= |S2| $

1.如果$|S1|\ =\ 1\ $ 设 $S1\ =\ \{p\} \ \ \   S2\ =\ \{q_1, q_2, q_3... q_k\}$

那么连边$<q_1, p>,<q_2, p>,<q_3, p>...<q_k, p>$ 即可以让图变成一个强连通分量。

因为任意两点$u$, $v$,  存在路径$u\to q_i \to p \to v$。

 

2.如果$|S1|>1$  那么 存在 $p_1\ p_2 \in S1\ \ q_1\ q_2 \in S2$  根据S1,S2的定义 $p_1$到$q_1$有路, $p_2$到$q_2$有路。 

那么先连边$<q_1, p_2>$构成一个新图G'。 

可以证明 $S1'=S1-\{p_2\}$  $S2'=S2-\{q_1\}$ 分别是新图的最小dominator set和codominator set。

 

先证明S1'和S2'分别是新图的dominator set和codominator set。

因为原图G中任意$p_2$可以到达的点$v$, 在新图G'中可以从S1'中的点出发,由$p_1\to q_1 \to p_2 \to v$到达。

原图G中任意可以到达$q_1$的点$v$, 在新图G'中可以由$v\to q_1 \to p_2 \to q_2$到达S2'中的点。

 

在证明它们是最小的(官方题解中漏了这部分,我自己脑补的)：

假设新图G’中存在比S1'还要小的dominator set S,  那么 $S + \{p_2\}$ 是原图G的dominator set,且比S1小, 这违反了S1是原图G最小的dominator set。

S2'的证明同理。

 

poj 1236代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;

#define X first
#define Y second
#define N 20010
#define M 350

typedef long long ll;
const ll INF = 1ll<<60;
const int Mod = 1000000007;

int dfs_clock, scc_cnt;
int dfn[N], low[N], scc[N];
int in[N], out[N];
int stack[N], top;
vector<int> E[N];

void Dfs(int x)
{
    dfn[x] = low[x] = ++dfs_clock; stack[++top] = x;
    for (int i = 0; i < E[x].size(); ++i)
    {
        int y = E[x][i];
        if (!dfn[y]) Dfs(y), low[x] = min(low[x], low[y]);
        else if (!scc[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
    
    if (low[x] == dfn[x])
    {
         scc_cnt++;
         int cur;
         do
         {
             cur = stack[top--];
             scc[cur] = scc_cnt;
         }while (cur != x);
    }
}

int main()
{
    //freopen("A.in","r",stdin);
    //freopen("A.out","w",stdout);
    
    int n; 
    while (scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) dfn[i] = low[i] = scc[i] = 0, E[i].clear();
        for (int i = 1, x; i <= n; ++i) while (scanf("%d", &x) && x) E[i].push_back(x);
        dfs_clock = scc_cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!dfn[i]) Dfs(i);
        for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++i) in[i] = out[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < E[i].size(); ++j)
            {
                int x = scc[i], y = scc[E[i][j]];
                if (x != y) in[y]++, out[x]++;
            }
        }
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 1; i<= scc_cnt; ++i) 
        {
            if (!in[i]) a++;
            if (!out[i]) b++;
        }
        printf("%d\n%d\n", a, scc_cnt > 1? max(a,b) : 0);
    }

    return 0;
}

 

双倍经验 hdu 2767代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;

#define X first
#define Y second
#define N 20010
#define M 350

typedef long long ll;
const ll INF = 1ll<<60;
const int Mod = 1000000007;

int dfs_clock, scc_cnt;
int dfn[N], low[N], scc[N];
int in[N], out[N];
int stack[N], top;
vector<int> E[N];

void Dfs(int x)
{
    dfn[x] = low[x] = ++dfs_clock; stack[++top] = x;
    for (int i = 0; i < E[x].size(); ++i)
    {
        int y = E[x][i];
        if (!dfn[y]) Dfs(y), low[x] = min(low[x], low[y]);
        else if (!scc[y]) low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
    
    if (low[x] == dfn[x])
    {
         scc_cnt++;
         int cur;
         do
         {
             cur = stack[top--];
             scc[cur] = scc_cnt;
         }while (cur != x);
    }
}

int main()
{
    //freopen("A.in","r",stdin);
    //freopen("A.out","w",stdout);
    
    int T, n, m;  scanf("%d", &T);
    while (T-- && scanf("%d %d", &n, &m))
    {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) dfn[i] = low[i] = scc[i] = 0, E[i].clear();
        while (m--)
        {
            int x, y;
            scanf("%d %d", &x, &y);
            E[x].push_back(y);
        }
        dfs_clock = scc_cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!dfn[i]) Dfs(i);
        for (int i = 1; i <= scc_cnt; ++i) in[i] = out[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < E[i].size(); ++j)
            {
                int x = scc[i], y = scc[E[i][j]];
                if (x != y) in[y]++, out[x]++;
            }
        }
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 1; i<= scc_cnt; ++i) 
        {
            if (!in[i]) a++;
            if (!out[i]) b++;
        }
        printf("%d\n", scc_cnt > 1? max(a,b) : 0);
    }

    return 0;
}