网络流24题之太空飞行计划

题目大意：

有n个实验要做,做掉奖励相应的钱,但是每个实验需要相应的仪器,每个仪器启动起来要相应的钱,安排使得赚钱最多。

 

首先引入一个闭合图的概念。

闭合图就是原图的一个子图,如果一个点u在这个子图内,那么它连出去的所有点v也要在这个子图内。

最大权闭合图就是点的权值和最大的闭合图。

 

模型分析：

1.很明显这是一个二分图,每个实验向需要的仪器连有向边,实验的点权为正,仪器的点权为负,要求最大权闭合图。

2.这是一个选或不选的问题,所以可以转化成最小割的模型，把选的归为S集,不选的归为T集。但是要求获利最大，最小割是最小,所以我们要换个角度,要求扣的钱最少,因为所有实验的前都加起来是一定的。

3.在最小割中,如果把S到所有试验表示的点连一条容量为奖励的钱（A类弧）,所有仪器到T连一条容量为启动仪器的钱（b类弧）,如果把A类弧割掉了,那么对应的那个实验就归到了T集,也就是不做了,那么就会有损失。如果把B类弧割掉了,那么相应的那个仪器归到了S集,也就是有损失。所有最小割就是使得损失最少的方案。

 

构图方法:

1.增加源点S和汇点T。

2.从S到所有实验连一条边,容量为其获利,从所有仪器到T连一条边，容量为其花费。

3.从每个实验到相应的仪器连容量为inf的边.

 

用上述方法实际上只能过10/12的点，因为没有特判定,默认是做的实验越多越好.也就是说有多个最小割的时候,尽可能少割A类弧。所以我们可以把所有弧的容量都乘以一个较大的数,然后让A类弧的容量都+1。这样求出的最小割一定是原图的最小割,并且尽可能少割A类弧. 经过测试通过了所有测试点。

 

总结:

1.最大权闭合图的通用解法：S到正权值的点连边,容量为其权值,负权值的点到T连边，容量为其绝对值,然后原图中的边容量为inf,ans=所有正权和-最小割。具体证明可以参考胡伯涛的论文。