一模 (6) day1
第一题:
题目大意:
一个n的全排列A[i]是单峰的,当且仅当存在某个x使得A[1]<A[2]<...<A[x]>A[x+1]>...>A[n]。 试求 n 的单峰全排列的个数 mod 1234567。n<=2 000 000 000
解题过程:
1.首先 所谓的 ”峰“ 必定是数字n,那么根据n的位置来讨论,可以发现,n在第i个位置的方案数是 C(n-1,i-1);因此总方案数就是 sum { C(n-1,0...n-1) };
根据二项式定理 sum { C(n-1,0...n-1) } = (1+1) ^ (n-1) = 2^(n-1); 利用快速幂计算即可。
第二题:
题目大意:
有一个 M 行 N 列的点阵,相邻两点可以相连。一条纵向的连线花费一个单位,一条横向的连线花费两个单位。某些点之间已经有连线了,试问至少还需要花费多少个单位才能使所有的点全部连通。 m,n<=1000
解题过程:
1.既然要连通,那么自然想到最小生成树,可是边的数量会很多,而kruskal算法是要用 (ElogE)的时间排序的。肯定超时。
2.进一步思考,边的权值无非只有3种,已经连好的为0,纵向边为1,横向边为2,那么只要按0,1,2的顺序来存就可以得到有序的边集数组了,然后就是传统的kruskal。
第三题:
题目大意:给出n对关系,表示字母X和Y必须相邻(也就是字符串中必须出现过”XY“或者”YX“), 求出字典序最小的字符串,满足给出的n对关系且长度为n+1;
解题过程:
1.把字母虚拟成点,把关系描述成边,那么本题其实就是求一个欧拉路。
2.求出奇点的个数cnt,如果不为0或者2 就输出无解。
3.如果cnt=0,那么从编码小的字母开始搜即可,如果cnt=2,必须从奇点出发。
Every day is meaningful, keeping learning!