NOIP2009解题报告

09年的题总体来说 没有难题，但是每道题除了第一题都要认真的慢慢写才能AC，

第一题：

R国和S国正陷入战火之中，双方都互派间谍，潜入对方内部，伺机行动。
历经艰险后，潜伏于S国的R国间谍小C终于摸清了S国军用密码的编码规则：
1、 S国军方内部欲发送的原信息经过加密后在网络上发送，原信息的内容与加密后所的内容均由大写字母‘A’—‘Z’构成（无空格等其他字母）。
2、 S国对于每个字母规定了对应的“密字”。加密的过程就是将原信息中的所有字母替换为其对应的“密字”。
3、 每个字母只对应一个唯一的“密字”，不同的字母对应不同的“密字”。“密字”可以和原字母相同。
例如，若规定‘A’的密字为‘A’，‘B’的密字为‘C’（其他字母及密字略），则原信息“ABA”被加密为“ACA”。
现在，小C通过内线掌握了S国网络上发送的一条加密信息及其对应的原信息。小C希望能通过这条信息，破译S国的军用密码。小C的破译过程是这样的：扫描原信息，对于原信息中的字母x（代表任一大写字母），找到其在加密信息中的对应大写字母y，并认为在密码里y是x的密字。如此进行下去直到停止于如下的某个状态：
1、 所有信息扫描完毕，‘A’—‘Z’所有26个字母在原信息中均出现过并获得了相应的“密字”。
2、 所有信息扫描完毕，但发现存在某个（或某些）字母在原信息中没有出现。
3、 扫描中发现掌握的信息里有明显的自相矛盾或错误（违反S过密码的编码规则）。例如某条信息“XYZ”被翻译为“ABA”就违反了“不同字母对应不同密字”的规则。
在小C忙得头昏脑胀之际，R国司令部又发来电报，要求他翻译另外一条从S国刚刚截取到的加密信息。现在请你帮助小C：通过内线掌握的信息，尝试破译密码。然后利用破译的密码，翻译电报中的加密信息。

解题过程：

1.直接模拟，但是要理解题目“每个字母只对应一个唯一的“密字”，不同的字母对应不同的“密字”。“密字”可以和原字母相同”，也就是说 不同的字母有不同的密码，不同的密码也对应不同的字母，一开始由于没考虑多个字母对应一个密码的情况，不过过了90%的数据。

 

第二题：

Hanks博士是BT（Bio-Tech，生物技术）领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x满足：
1、 x和a0的最大公约数是a1；
2、 x和b0的最小公倍数是b1。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

解题过程：

1.一开始打算打个素数表，但是数据很大，素数表没法开很大，然后就一个个去除来分解质因数，虽然慢了点，但也能AC。将4个数都分解质因数，然后来确定x的每个质因子个数的上下界，利用乘法原理即可，由于没开素数表，我保存的方法也很麻烦。。一个字母打错弄了半天。

2.AC之后想到其实可以打个素数表，开个50000以内的就好，因为数据最大20亿，5w以上的质因数不可能有2个或2个以上，所以分解质因数的时候看最后剩下的数，如果不是1就必定是一个大素数，存下来就好。这样使后面的算法处理也方便得多。

 

第三题：

C国有n个大城市和m条道路，每条道路连接这n个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这m条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。 C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。 商人阿龙来到C国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设C国n个城市的标号从1-n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在n号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有n个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市迈入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球。用赚取的差价当作旅费。由于阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次。当然，在赚不到差价的情况下它就无需进行贸易。 假设C国有5个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行。双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设1~n号城市的水晶球价格分别为4，3，5，6，1。 阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在2号城市以3的价格买入水晶球，在3号城市以5的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为2。 阿龙也可以选择如下一条线路：1->4->5->4->5，并在第1次到达5号城市时以1的价格买入水晶球，在第2次到达4号城市时以6的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为5。 现在给出n个城市的水晶球价格，m条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚钱多少旅费。

 

解题过程：

1.数据范围很大，因此采用邻接表保存边。。

2.算法大致是：做两次改造后的spfa，分别求出从1到i的最低贸易值和从i到n的最高贸易值，然后一个循环求出最大差值就是答案。。

spfa的过程大致如下：一开始写将所有的d[i]赋值为a[i],但是这样会使更新的过程断掉，比如 a=4 3 2  5  1，各个城市连成一条链时，如果初始化d[i]=a[i]，更新d[3]变成4后，

d[4]=5不能更新，就断掉了，那么d[n]就为1，实际应该是5.然后想到一开始把所有点都加入队列，但这也是不行的。百度了一下，应该按下面这样写。

     int cur;
     for (int i=1;i<n;i++)
         d[i]=-210000000;
     f=0;
     r=1;
     v[n]=1;
     q[0]=n;
     d[n]=a[n];
     while (f!=r)
     {
         cur=q[f];
         for (int c=head2[cur];c;c=edge2[c].nxt)
         {
             if (d[edge2[c].to]<d[cur])
             {
                 d[edge2[c].to]=d[cur];
                 if (v[edge2[c].to])
                     continue;
                 q[r]=edge2[c].to;
                 v[edge2[c].to]=1;
                 r=(r+1)%n;
             }
             if (d[edge2[c].to]<a[edge2[c].to])
             {
                 d[edge2[c].to]=a[edge2[c].to];
                 if (v[edge2[c].to])
                     continue;
                 v[edge2[c].to]=1;
                 q[r]=edge2[c].to;
                 r=(r+1)%n;
             }
         }
         v[cur]=0;
         f=(f+1)%n;
     }

 

第四题：

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向Z博士请教，Z博士拿出了他最近发明的“靶形数独”，作为这两个孩子比试的题目。 靶形数独的方格同普通数独一样，在9格宽×9格高的大九宫格中有9个3格宽×3格高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入1到9的数字。每个数字在每个小九宫格内不能重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为10分，黄色区域外面的一圈（红色区域）每个格子为9分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为8分，蓝色区域外面一圈（棕色区域）每个格子为7分，最外面一圈（白色区域）每个格子为6分，如上图所示。比赛的要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独有可能有不同的填法），而且要争取更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字的乘积的总和。如图，在以下这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分为2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能够得到的最高分数。

 

解题过程：

1.首先想到只能是搜索，但是搜索量很大。加了个小剪枝，就是令所有剩下的还没填的数都为9，如果这样分数还比当前最优解小，就return。但是这个剪枝太不给力。。基本上用不到。

2.难以减少搜索量，只能通过优化常数来解决。。就开了3个hash，记录每行每列还有每个九宫格的数字使用情况，用二进制位运算来存取。。还有一个判断一个位置属于哪个九宫格的小技巧（网络上看来的），就是一开始打个表，用一个二维数组保存每个位置属于哪个九宫格。。这样能拿到80%的分。

3.然后就不知道该怎么办了。。各种骗的手段并用，先是填数字改成从大到小的顺序，结果更慢。。然后用卡时器，结果WA了。。然后又试着从后往前倒着搜，加上卡时，终于AC，设置卡时的范围蛋疼，提交n次才试出来，大概1500w能刚好AC。

4.据说有更好的解法，用了dancing link，可以参考博客http://www.cnblogs.com/steady/archive/2011/03/15/1984791.html  学习一下。