Catalan数

先看2个问题：

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问题一：

n个元素进栈（栈无穷大），进栈顺序为1,2,3，....n，那么有多少种出栈顺序？

先从简单的入手：
n=1，当然只有1种；
n=2，可以是1,2  也可以是2，1；那么有2种；
n=3，可以是1,2,3或1,3,2或2,1,3或2,3,1或3,2,1；一共5种；
容易联想到可能有一个通项公式可以求；
(扯一点，以前学栈的时候做过判断一个序列是否为合法的出栈顺序的题目，只要依次检查序列，对于一个元素i，在i后面出来的且序号比i小的肯定是从大到小出来的，比如 4 2 1 3，如果4都出来了，那么栈里从上到下只能是3 2 1)
通项公式的推导：
起先设F[i]表示i个元素进出栈（入栈的编号从小到大）的方案数；F[0]=1；F[1]=1；F[2]=2；F[3]=5； 
对于F[n]；假设编号为1的元素先入栈，在出栈，那么剩下n-1个元素，方案数就是F[1]*F[n-1]；
假设编号为1和2的元素入栈出栈，有F[2]种方案，剩下n-2个元素，根据乘法原理方案数就是F[2]*F[n-2]；
......
1,2,3,......n-1先入栈出栈......
相加就是总方案数
但是带入发现不对：其实这样枚举会漏解，因为这样枚举元素n永远都是最后一个出栈；
思路二：
假设元素1第一个出栈，剩下n-1个； 方案数就是F[0]*F[n-1]；
假设元素1第二个出栈，剩下n-2个；1前面的1个元素出栈有F[1]种方案，后n-2个有F[n-2]种，根据乘法原理 方案数就是F[1]*F[n-2]；
假设元素1第三个出栈，剩下n-3个；1前面的2个元素出栈有F[2]种方案，后n-3个有F[n-3]种，根据乘法原理 方案数就是F[2]*F[n-3]； 
......
假设元素1第n个出栈......
相加就是总方案数；
公式的话就是F[n]=F[k-1]*F[n-k](1<=K<=n);

 

 

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问题2：

n个1和n个0组成一个2n位的二进制数；要求从左到右的1的累计数不少于0的累计数，求方案数。

假设有一个2n位的二进制数，从左到右某一位开始不满足条件，那么这一位前面的1和0一样多，所以这一位必定是奇数位。
设第2k+1位开始不满足条件，那么第2k+1位是0；前面2k+1位有k个1和k+1个0，剩下后面的（2n-2k-1）位有n-k个1和
n-k-1个0；如果把后面的（2n-2k-1）位中的n-k个1换成0，把n-k-1个0换成1；那么这个二进制数就变成了由n+1个0和n-1个1组成的二进制数；因此可知任意一个不符合要求的数都可以转化成一个由n+1个0和n-1个1组成的二进制数；
同理反过来 任意一个由n+1个0和n-1个1组成的二进制数都可以转化成一个不符合要求的数；证明：由于0比1多2个，必定在从某一个偶数位开始，0的个数比1多2个；同理把后面部分的01互换，就变成一个由n+1个0和n-1个1组成的二进制数；
所以总方案就等于 n个1和n个0组成一个2n位的二进制数的个数减去由n+1个0和n-1个1组成的二进制数的个数；
F[n]=C（2n，n）-C(2n，n-1)=C（2n，n）/（n+1）；

由问题二 再来看 问题一：进栈的累计次数必定不少于出栈的累计次数，故
 F[n]=C（2n，n）-C(2n，n-1)=C（2n，n）/（n+1）；
也等于 F[k-1]*F[n-k](1<=K<=n)。这就是Catalan数（数学家Catalan在研究乘法结合律的时候提出，即求一个式子a₁*a₂*a₃*a₄*a₅*......a_n一共有多少种添加括号的方法）；

 

 

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总结：像这种某两个元素的总个数相等，但其中一个的累计数不小于另一个的题目都可以用Catalan数的公式来解决； 
 
相关练习：
1.2n个人排成一行买票，n个人只有10元整，n个人只有5元整，票价5元一张，问有多少种排队的方法，使得只要有带着10元的人买票，就有零钱可以找给他；
2.过河卒改编版,（图不好画，，结合过河卒的图吧）就是从左到右，n行n列，第一列只有从下到上1个 格子，第2列从下到上有2个，第n列有n个格子，从最左下角走到最右上角有多少种方案；