NOIP2005 等价表达式 解题报告

明明进了中学之后，学到了代数表达式。有一天，他碰到一个很麻烦的选择题。这个题目的题干中首先给出了一个代数表达式，然后列出了若干选项，每个选项也是一个代数表达式，题目的要求是判断选项中哪些代数表达式是和题干中的表达式等价的。

这个题目手算很麻烦，因为明明对计算机编程很感兴趣，所以他想是不是可以用计算机来解决这个问题。假设你是明明，能完成这个任务吗？

这个选择题中的每个表达式都满足下面的性质：

1．  表达式只可能包含一个变量‘a’。

2．  表达式中出现的数都是正整数，而且都小于10000。

3．  表达式中可以包括四种运算‘+’（加），‘-’（减），‘*’（乘），‘^’（乘幂），以及小括号‘(’，‘)’。小括号的优先级最高，其次是‘^’，然后是‘*’，最后是‘+’和‘-’。‘+’和‘-’的优先级是相同的。相同优先级的运算从左到右进行。（注意：运算符‘+’，‘-’，‘*’，‘^’以及小括号‘(’，‘)’都是英文字符）

4．  幂指数只可能是1到10之间的正整数（包括1和10）。

5．  表达式内部，头部或者尾部都可能有一些多余的空格。

下面是一些合理的表达式的例子：

((a^1) ^ 2)^3，a*a+a-a，((a+a))，9999+(a-a)*a，1 + (a -1)^3，1^10^9……

对于30%的数据，表达式中只可能出现两种运算符‘+’和‘-’；

对于其它的数据，四种运算符‘+’，‘-’，‘*’，‘^’在表达式中都可能出现。

对于全部的数据，表达式中都可能出现小括号‘(’和‘)’。  

解题过程：

1.合并同类项肯定是不行的。。万一他来一个（a+1）^5和它展开后的形式，怎么可能看得出可以合并。。
2.这题只能取巧，将a代几个值进去如果和标准的一样就选吧。 首先选的值不能太特殊，比如0,1，-1什么的，其次不要偷懒只代一组，说不定rp就那么好刚刚好凑到了。

3.数据计算到后面会爆long long，显然写高精度是不现实的，那就mod一个较大的MO（任取），如果相同就选。。
下面的实现方法：参考http://www.cnblogs.com/dolphin0520/p/3708602.html 1.堆栈实现，要用2个 栈，一个存数字，一个存运算符。先预处理一下小细节，如何区分是‘-’是负号还是减号？

如果是 减号，那么它前面的字符（去掉多余的空格）只能是数字或者右括号’）’，把这个减号换成另外一个字符，比如‘#’，处理的时候就方便多了。 2.     假如有这样一个表达式：（（3+5*2）+3）/5+6/4*2+3

　　对于这样一个表达式，如果让你来设计操作数和操作符进栈的出栈的规则，你会怎么设计？

　　先不看这么复杂的表达式，考虑一下简单点的，还是前面的3+2*5，那么很显然先进行乘法运算，后进行加法运算，但是由于操作符在操作数中间，所以当一个操作符进操作符栈时，该操作符的两个操作数并没有都进入到操作数栈中，那么如何解决呢？只有在后面一个操作符进操作符栈时，前面的一个操作符所作用的两个操作数才会全部进栈。比如3+2*5,栈的变化过程为：

　　操作数栈：3      操作数栈：3   操作数栈：3 2 

　　操作符栈：空     操作符栈：+  操作符栈：+    

　　注意此时遇到操作符“*”，是不是需要弹出操作数栈中的两个操作数进行运算呢，很显然不是，因为乘法运算法比操作符栈的栈顶运算符优先级高，也就是说当前的操作符在“+”前进行运算，那么还需要将当前操作符压栈，则变成：

　　操作数栈：3 2   操作数栈：3 2 5

　　操作符栈：+ *  操作符栈：+ *

　　此时到了表达式的结尾，既然栈顶的操作符的优先级比栈底的操作符的优先级高，那么可以取操作符栈的栈顶操作符和操作数栈的栈顶两个元素进行计算，则得到2*5=10，（注意从操作数栈先弹出的操作数为右操作数）。此时得到10 ，则应该把10继续压到操作数栈中，继续取操作符栈的栈顶操作符，依次进行下去，则当操作符栈为空时表示计算过程完毕，此时操作数栈中剩下的唯一元素便是整个表达式的值。

　　再换个例子：2*5+3,这个表达式跟前面表达式的结果虽然相同，但是操作数和操作符入栈和出栈的顺序发生了很大变化：

　　操作数栈：2     操作数栈：2   操作数栈：2 5  

　　操作符栈：空    操作符栈：*   操作符栈：*     

 　　此时遇到“+”，而操作符栈的栈顶操作符为“*”，栈顶操作符优先级更高，表示此时可以取操作符栈顶操作符进行运算，那么栈变成：

　　操作数栈：10   操作数栈：10 3

　　操作符栈：空    操作符栈：+

　　后面的过程跟前面一个例子类似。

　　如果复杂一点，比如包含有括号，连续的乘除法这些怎么处理呢？道理是一样的，对于左括号直接入栈，碰到右括号，则一直将操作符退栈，直到碰到左括号，则括号中的表达式计算完毕。对于连续的乘除法，跟前面例子中处理过程类似。只需要记住一点：只有当前操作符的优先级高于操作符栈栈顶的操作符的优先级，才入栈，否则弹出操作符以及操作数进行计算直至栈顶操作符的优先级低于当前操作符，然后将当前操作符压栈。当所有的操作符处理完毕（即操作符栈为空时），操作数栈中剩下的唯一一个元素便是最终的表达式的值。而操作符的优先级为：+和-优先级是一样的，*和/优先级是一样的，+、-的优先级低于*、/的优先级，^的优先级最大。
3.另外要注意一个符号进栈前后进栈后的优先级是不一样的，比如3+5+2，前面那个+优先级必须比后面那个大，这样第二个+进栈的时候3+5才能变成8 ，（不能相等，否则如果第一个+前面还有一个左括号，就会把左括号也弹出去）。方便起见一开始给符号的优先级赋值，我是这样的：

out_val['(']=12;  

out_val['^']=9;  

out_val['+']=out_val['#']=3;  

out_val['*']=out_val['/']=7;  

out_val[')']=2;

 out_val['@']=-1;

 in_val['(']=1;

 in_val['^']=10;

 in_val['+']=in_val['#']=4;

 in_val['*']=in_val['/']=8; 

字符串末尾再人工加一个'@’，让他的优先级最低，这样最后扫描到他的时候就可以把字符栈里的字符全部弹出来了。
写了3个多小时。 一开始优先级的赋值搞了半天，还有括号，空格的处理。如果遇到右括号就弹出字符知道碰到左括号，别忘了把左括号也弹出来。