NOIP2007解题报告

 第一题：  某次科研调查时得到了n个自然数，每个数均不超过1500000000（1.5*109）。已知不相同的数不超过10000个，现在需要统计这些自然数各自出现的次数，并按照自然数从小到大的顺序输出统计结果。

 

解题过程： 直接sort快拍然后扫描一遍即可。

第二题：  在初赛普及组的“阅读程序写结果”的问题中，我们曾给出一个字符串展开的例子：如果在输入的字符串中，含有类似于“d-h”或“4-8”的子串，我们就把它当作一种简写，输出时，用连续递增的字母或数字串替代其中的减号，即，将上面两个子串分别输出为“defgh”和“45678”。在本题中，我们通过增加一些参数的设置，使字符串的展开更为灵活。具体约定如下： （1）遇到下面的情况需要做字符串的展开：在输入的字符串中，出现了减号“-”，减号两侧同为小写字母或同为数字，且按照ASCII码的顺序，减号右边的字符严格大于左边的字符。 （2）参数p1：展开方式。p1=1时，对于字母子串，填充小写字母；p1=2时，对于字母子串，填充大写字母。这两种情况下数字子串的填充方式相同。p1=3时，不论是字母子串还是数字子串，都用与要填充的字母个数相同的星号“*”来填充。 （3）参数p2：填充字符的重复个数。p2=k表示同一个字符要连续填充k个。例如，当p2=3时，子串“d-h”应扩展为“deeefffgggh”。减号两侧的字符不变。 （4）参数p3：是否改为逆序：p3=1表示维持原有顺序，p3=2表示采用逆序输出，注意这时仍然不包括减号两端的字符。例如当p1=1、p2=2、p3=2时，子串“d-h”应扩展为“dggffeeh”。 （5）如果减号右边的字符恰好是左边字符的后继，只删除中间的减号，例如：“d-e”应输出为“de”，“3-4”应输出为“34”。如果减号右边的字符按照ASCII码的顺序小于或等于左边字符，输出时，要保留中间的减号，例如：“d-d”应输出为“d-d”，“3-1”应输出为“3-1”。

 

解题过程： 按题目描述模拟就好，只要细心就不会错。 

 

第三题： 帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij均为非负整数。游戏规则如下： 1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素； 2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾； 3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值*2^i，其中i表示第i次取数（从1开始编号）； 4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。 帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

解题过程： 这题比较有意思， 一开始会想到贪心，有经验的话看数据范围，肯定是动态规划拉。首先取数各行之间没有关联，也就是每行都是要么取头要么取尾，分开做n次就好了。 F[i][j]表示从第i列到第j列的最大得分,F[i][j]=max{F[i][j-1]*2+2*a[j],F[i+1][j]*2+2*a[i]} 用long long 可以过7个点，高精度会有点慢，勉强AC。注意答案可能会有0，高精度可能会漏掉输出。

第四题：

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。

路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。 一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离：

d(v, P)=min{d(v, u)，u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F)=max{d(v,F),v∈V}。

任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

解题过程： 这题题目看了n久才看明白，实在坑爹，先是想不明白题目中说的 “各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的”，而且我还找到了反例。还好这个东西是废话用不着的。 直径有很多，但实际上只要在一条直径上找就好了（证明不来。。。但自己画有多条直径的图的时候，画出来的都是对称的。。）。。 因此找到一条直径，把路径记录下来，然后用两个指针i，j分别表示起点和终点，i指针每次往前移动一个，然后j指针尽可能往后移动， 因为确定起点的路径肯定是越长越好，粗略的证明见注释，然后对路径中的每一个点为起点做一次DFS（先把路径中的点标记为已经访问过），就可以求出偏心距。关键是找到直径，做法是随便取一个点做DFS，找到与它相距最远的一个点，那么这个点必定是某条直径的一个端点。然后在以这个点为起点做DFS找到最远的点，就是直径的另外一端了。然后在做一次DFS把整条直径给找出来。 证明用反证法。

注释：对于 确定起点的路径肯定是越长越好的证明：假设目前枚举的路径为S，要再添加一个点X进来，让路径更长一点，变成路径T。树网中到直径的入口为X的点Y，（即Y到路径的最短距离为Dist（X,Y））。Dist（X,Y）一定不会大于原路径S的偏心距，否则S偏心距的路径可以由Y出发经过X到路径S上来，就大于Dist（X,Y）了，出现矛盾。2014-07-28 22:16:01