卡特兰数学习笔记

引入

从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$，求不越过 $y=x$ 的方案数。

不考虑是否合法的方案数是 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$，即从 $2n$ 个移动中选 $n$ 个向右的。

接下来考虑不合法的情况，不合法当且仅当碰到了 $y=x+1$ 这条直线，设这个点是 $(p,p+1)$，将后面的折线沿着 $y=x+1$ 翻折。

从图中不难看出，不合法路径的终点翻折后变成了 $(n-1,n+1)$，因为这是 $A$ 的对称点。于是所有不合法的路径数量就是从 $(0,0)$ 走到 $(n-1,n+1)$ 的方案数，因为二者是一一对应关系。

最终的答案就成了 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+1})$。

卡特兰数

上个例子的答案就是卡特兰数的定义。OEIS 上的 卡特兰数。

接下来介绍卡特兰数的其他形式

1

$$H_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+1})$$

2

$$H_n=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{n+1}$$

3

$$H_n=\sum _{i=1}^n{H}_{i-1}{H}_{n-i}$$

特别地有 $H_0=H_1=1$。

从网格问题证明：

枚举第一次到达 $y=x$ 的点 $(i,i)$，其中 $1\le i\le n$。

那么前一半的方案数等价于 $(1,0)$ 到 $(i,i-1)$，且不经过 $y=x-1$ 的方案数，就是 $H_{i-1}$。

后一半是 $H_{n-i}$，那么由乘法原理一个 $i$ 的贡献就是 $H_{i-1}{H}_{n-i}$。

4

$$H_n=\frac{H_n(4n-2)}{n+1}$$

经典问题

网格行走问题

从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 且不经过 $y=x$ 的方案数为 $H_n$。

从 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 且不经过 $y=x$ 的方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m-1})$。

如下图：

每一条不合法的路径都可以转化为一条 $(0,0)$ 到 $(m-1,n+1)$ 的路径

P1641 [SCOI2010] 生成字符串

加入一个 $1$ 看成向右走，加入一个 $0$ 看成向下走，就是上述问题。

出栈方案数问题

P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

将进栈看成向右，出栈看成向上即可。

二叉树总数

$k$ 个节点可构造出二叉树总数是 $H_k$。

证明：枚举 $i$，左端点数 $i-1$，右端点数 $n-i$，成了两个子问题 $H_{i-1},H_{n-i}$，发现公式与卡特兰数是相同的。

阶梯划分问题

P2532 [AHOI2012] 树屋阶梯

考虑 $f_i$ 表示 $i$ 阶阶梯划分数量，考虑一个矩形 $(0,0)$ 划分到横坐标为 $i$ 的点，剩下的就是 $i-1$ 和 $n-i$ 的子问题，正好符合卡特兰数的公式。