浅谈高斯消元

线性代数相关定义

线型方程组

设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{x} = b_{m} \end{cases}

其中 $a_{i j}$ 为第 $i$ 个方程第 $j$ 个未知数的系数， $b_{i}$ 是第 $i$ 个方程的常数项。
当常数项 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{m}$ 不全为零时，该线性方程组叫做 $n$ 元非齐次线性方程组。
当 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{m}$ 全为零时，该线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 \\ \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{x} = 0 \end{cases}

称为 $n$ 元齐次线性方程组。

$n$ 元线性方程组往往简称为线性方程组或方程组。

对于 $n$ 元齐次线性方程组， $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{n} = 0$ 一定是它的解，这个解叫齐次线性方程组的零解。如果有一组不全为零的数是它的解，则叫做齐次线性方程组的非零解。

齐次线性方程组一定有零解，不一定有非零解。

矩阵

对于非齐次线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{x} = b_{m} \end{cases}

有如下几个矩阵：

A = (\begin{matrix} a_{i j} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix}),

其中 $A$ 成为系数矩阵， $x$ 称为未知数矩阵， $b$ 称为常数项矩阵， $B$ 称为增广矩阵。高斯消元就是在增广矩阵上进行的。

矩阵的初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

对换两行（对换 $i, j$ 两行，记作 $r_{i} \leftrightarrow r_{j}$ ）
以非零数 $k$ 乘上某一行中所有元（第 $i$ 行乘以 $k$ ，记作 $r_{i} \times k$ ）
把某一行数所有元的 $k$ 倍加到另一行的所有元上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_{i} + k \times r_{j}$ ）

把矩阵的初等行变换的“行”换成“列”，就得到了矩阵的初等列变换。
矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，统称为初等变换。

高斯消元

主要思想

反复运用初等变换将原矩阵变换为形如

(\begin{matrix} 1 & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ 1 & a_{23} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & b_{n} \end{matrix})

的上三角矩阵，然后从下至上回带求解。
而且可以观察到每一行对应主元之下，该主元的系数都为 $0$ 。

主要步骤

找到当前主元系数不为 $0$ 的一行（这里通常也找系数绝对值较大的一行）。
将这一行与当前处理到的行交换。
运用初等变换将主元的系数变为 $1$ 。
运用初等变换将其余行（不包含当前行上面的行）的主元的系数变为 $0$ （目的是变成上三角矩阵）。

最后通过上三角矩阵回带求解，得到答案。

无解 & 无穷解

通过初中知识可知， $n$ 个未知数要有 $n$ 个方程才能求解，如果在找主元不为 $0$ 的一行是找不到了（即这个主元的所有系数都为 $0$ ），这是肯定是会出现两种情况。

无解，出现 $0 = k \neq 0$ 时。
无穷解，出现 $0 = 0$ 时。

故处理时如果出现找不到主元时先跳过这一行，最后在所有系数都为 $0$ 的行中判断常数即可。

无解举例

{\begin{cases} 3 x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} = 47 \\ x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 58 \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = 5 \end{cases} \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 7 & - 5 & 47 \\ 1 & 4 & 1 & 58 \\ 2 & 3 & - 6 & 5 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 7 & - 5 & 47 \\ 0 & 5 & 8 & 127 \\ 0 & 0 & 0 & 16 \end{matrix})

此时无解。

无穷解举例

{\begin{cases} 3 x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} = 47 \\ x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} = 58 \\ 2 x_{1} + 3 x_{2} - 6 x_{3} = - 11 \end{cases} \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 7 & - 5 & 47 \\ 1 & 4 & 1 & 58 \\ 2 & 3 & - 6 & - 11 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 7 & - 5 & 47 \\ 0 & 5 & 8 & 127 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

此时有无数解。

解释

下面通过几组样例，在程序中插入 printf 语句，追踪一下高斯消元的执行过程。

唯一解

输入：

输出：

x1=1.00
x2=0.00
x3=-1.00

唯一解

无穷解
输入：

输出：

无解
输入：

输出：

-1

代码实现

模板题：
P2455 [SDOI2006] 线性方程组

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>

using namespace std;

const int maxn = 105;
const double eps = 1e-7;//精度
double a[maxn][maxn];
double ans[maxn];
int n;

void print()
{
	puts("");
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++) cout << a[i][j] << " ";
		puts("");
	}
	puts("");
}//调试，输出矩阵

void gauss()
{
	//row 行 col 列
	int col = 1, row = 1;
	for (col = 1; col <= n; col++)//枚举主元所在列（1~n）
	{
		//step1 找到主元非0的一行
		int t = row;
		for (int i = row; i <= n; i++)
		{
			if (fabs(a[i][col]) > eps)
			{
				t = i;
				break;
			}
		}
		// step2
		if (fabs(a[t][col]) < eps) continue;//主元系数为0，即产生了自由元，先暂且不管
		swap(a[row], a[t]);//否则替换两行

		//step3 将主元系数置1，注意枚举顺序
		for (int i = n + 1; i >= row; i--)
		{
			a[row][i] /= a[row][col];
		}

		//step4 将下面所有的主元系数消为0
		for (int i = row + 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = n + 1; j >= col; j--)
			{
				a[i][j] -= a[i][col] * a[row][j];
			}
		}

		//step5 处理下一个主元
		row++;
	}

	//处理的主元个数小于n，产生了自由元，一定是无解/无穷解
	if (row <= n)
	{
		for (int i = row; i <= n; i++)
		{
			if (fabs(a[i][n + 1]) > eps)
			{
				cout << "-1" << endl;
				exit(0);
			}
		}
		puts("0");
		exit(0);
		return;
	}
	else
	{
		//step6 回代求解答案
		for (int i = n; i >= 1; i--)
		{
			ans[i] = a[i][n + 1];
			for (int j = i + 1; j <= n; j++)
			{
				ans[i] -= ans[j] * a[i][j];
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) printf("x%d=%.2lf\n", i, ans[i]);
	}
}




int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define LOCAL
	//freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
		{
			scanf("%lf", &a[i][j]);
		}
	}
	gauss();
#ifdef LOCAL
	fprintf(stderr, "%f\n", 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
	return 0;
}

高斯-约当消元法

主要思想

与高斯消元思想相近，但略有不同。
反复运用初等变换将系数矩阵变换为形如

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix})

的单位矩阵。

主要步骤

找到当前主元系数不为 $0$ 的一行（这里通常也找系数绝对值较大的一行）。
将这一行与当前处理到的行交换。
运用初等变换将主元的系数变为 $1$ 。
运用初等变换将其余行的主元的系数变为 $0$ 。

解释

追踪高斯-约当消元的执行过程。

输入：

输出

-0.97
5.18
-2.39

高斯-约当消元

代码实现

相比高斯消元只需改动一点，具体细节见代码。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>

using namespace std;

const int maxn = 105;
const double eps = 1e-7;//精度
double a[maxn][maxn];
double ans[maxn];
int n;

void print()
{
	puts("");
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++) cout << a[i][j] << " ";
		puts("");
	}
	puts("");
}//调试，输出矩阵

void gauss()
{
	//row 行 col 列
	int col = 1, row = 1;
	for (col = 1; col <= n; col++)//枚举主元所在列（1~n）
	{
		//step1 找到主元非0的一行
		int t = row;
		for (int i = row; i <= n; i++)
		{
			if (fabs(a[i][col]) > eps)
			{
				t = i;
				break;
			}
		}
		// step2
		if (fabs(a[t][col]) < eps) continue;//主元系数为0，即产生了自由元，先暂且不管
		swap(a[row], a[t]);//否则替换两行

		//step3 将主元系数置1，注意枚举顺序
		for (int i = n + 1; i >= row; i--)
		{
			a[row][i] /= a[row][col];
		}

		//step4 将所有的主元系数消为0
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if (i == row) continue;
			for (int j = n + 1; j >= col; j--)
			{
				a[i][j] -= a[i][col] * a[row][j];
			}
		}
		//cout<<row<<" "<<col<<endl;
		//print();
		//step5 处理下一个主元
		row++;
	}

	//处理的主元个数小于n，产生了自由元，一定是无解/无穷解
	if (row <= n)
	{
		for (int i = row; i <= n; i++)
		{
			if (fabs(a[i][n + 1]) > eps)
			{
				cout << "No Solution" << endl;
				exit(0);
			}
		}
		puts("No Solution");
		exit(0);
		return;
	}
	else
	{
		//step6 输出答案
		for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%.2lf\n", a[i][n + 1]);
	}
}




int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
#define LOCAL
	//freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
		{
			scanf("%lf", &a[i][j]);
		}
	}
	gauss();
	puts("");
#ifdef LOCAL
	fprintf(stderr, "%f\n", 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC);
#endif
	return 0;
}

例题

AcWing 884. 高斯消元解异或线性方程组 & 题解：AcWing 884. 高斯消元解异或线性方程组题解
P2447 [SDOI2010] 外星千足虫 & 题解： P2447 [SDOI2010] 外星千足虫题解
2962 [USACO09NOV] Lights G & 题解： $Pending \dots$
P4035 [JSOI2008] 球形空间产生器 & 题解： $Pending \dots$

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本文作者：vanueber

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