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单调队列学习笔记

单调队列

P1886 滑动窗口 /【模板】单调队列

「单调」指的是元素的「规律」——递增（或递减）。

「队列」指的是元素只能从队头和队尾进行操作。

要求的是每连续的 $k$ 个数中的最大（最小）值，很明显，当一个数进入所要 "寻找" 最大值的范围中时，若这个数比其前面（先进队）的数要大，显然，前面的数会比这个数先出队且不再可能是最大值。

也就是说——当满足以上条件时，可将前面的数 "弹出"，再将该数真正 $p u s h$ 进队尾。

这就相当于维护了一个递减的队列，符合单调队列的定义，减少了重复的比较次数，不仅如此，由于维护出的队伍是查询范围内的且是递减的，队头必定是该查询区域内的最大值，因此输出时只需输出队头即可。

显而易见的是，在这样的算法中，每个数只要进队与出队各一次，因此时间复杂度被降到了 $O (N)$ 。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <deque>

using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 5;
int n, m;
int a[maxn];
deque<int> q;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (!q.empty() && a[q.back()] > a[i])
            q.pop_back();
        q.push_back(i);
        if (i >= m)
        {
            while (!q.empty() && q.front() <= i - m)
                q.pop_front();
            printf("%d ", a[q.front()]);
        }
    }
    printf("\n");
    while (!q.empty())
        q.pop_back();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (!q.empty() && a[q.back()] < a[i])
            q.pop_back();
        q.push_back(i);
        if(i>=m)
        {
            while(!q.empty()&&q.front()<=i-m) q.pop_front();
            printf("%d ",a[q.front()]);
        }
    }
    return 0;
}

单调队列应用场景：

单调队列（Monotonic Queue）是一种数据结构，常用于解决一些与滑动窗口相关的问题。它可以在 $O (1)$ 的时间复杂度内实现以下操作：

在队尾添加元素
在队头移除元素
获取当前队列中的最大（或最小）元素

使用单调队列的典型场景包括：

滑动窗口最大值（或最小值）问题：给定一个数组和窗口的大小，需要找到每个窗口内的最大（或最小）值。单调队列可以帮助我们在窗口滑动的过程中高效地获取最大（或最小）值。
求解滑动窗口的某种性质：有时候我们需要在滑动窗口中求解的不仅仅是最大（或最小）值，还可能是其他一些特定的性质，比如窗口内的元素之和、平均值等。通过维护一个适当的单调队列，我们可以在滑动窗口中高效地求解这些性质。
解决一些需要在固定大小的窗口中维护最大（或最小）值的问题：比如在一个数据流中，需要不断更新当前窗口的最大（或最小）值。单调队列可以帮助我们在数据流中高效地维护这些值。