简单的随机造树方法与树的强度

更多方法可见这篇。

1.随机父亲

树以 \(1\) 为根，则 \(\forall i\in[2,n]\)，在 \([1,i)\) 中随机选择一个点作为自身父亲：

namespace RandomTreeGenerator{
	mt19937 rnd(time(0));
	void generateRandomTree(int n){
		int x;for(int i=2;i<=n;++i) x=rnd()%(i-1)+1,Edge(x,i);
	}
}

结点个数 \(x(x\le 5\times 10^5)\) 与树的平均深度 \(y\) 的关系，近似 \(y=1.6\log_2 x\)：

（对 \(y\) 放大 \(5000\) 倍）可以看出 \(y=\mathcal \Theta(\log x)\)。

2.Prüfer 序列

众所周知，一个长度为 \(n-2\) 的 Prüfer 序列唯一对应着一棵无根树，所以我们可以随机生成一个 Prüfer 序列，将其按模板题的方法转化成树。

namespace RandomTreeGenerator{
	mt19937 rnd(time(0));
	int d[N],p[N];
    void generateRandomTree(int n){
        for(int i=1;i<=n;++i) d[i]=1;
        for(int i=1;i<=n-2;++i) ++d[p[i]=rnd()%n+1];
        int now,pre;for(int i=1;i<=n;++i) if(d[i]==1){pre=now=i;break;}
        for(int i=1;i<=n-2;++i){
            int f=p[i];Edge(now,f);
            if(--d[f]==1&&f<pre) now=f;
            else{while(d[++pre]!=1);now=pre;}
        }
        Edge(now,n);
    }
}

结点个数 \(x(x\le 5\times 10^5)\) 与树的平均深度 \(y\) 的关系，近似 \(y=2.5\sqrt x\)：

（对 \(y\) 放大 \(100\) 倍）可以看出 \(y=\Theta(\sqrt x)\)。