acwing 104. 货仓选址（排序不等式）

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题目描述

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数 N。

第二行 N 个整数 A1∼AN。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

1≤N≤100000
0≤Ai≤40000

输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

12

排序不等式

分析

假设选一个点$x$

现在有点$x_1, x_2, x_3, ... , x_{n-1}, x_n$，首先将其排序

那么就是求$|x_1 - x| + |x_2 - x| + |x_3 - x| + ... |x_{n-1} - x| + |x_n - x|$ 的最小值

我们将它分组：$(|x_1 - x| + |x_n - x|)+ (|x_2 - x|+ |x_{n-1} - x|) + ...$

对于$|a-x| + |b-x| \ge b - a$ 易知，当x位于a,b之间的时候，该和最小，为|a - b|

所以对于上面的分组， $(|x_1 - x| + |x_n - x|)+ (|x_2 - x|+ |x_{n-1} - x|) + ... \ge (x_n - x_1) + (x_{n-1} - x_2) + ...$

只需要取x作为$x_1, x_2, x_3, ... , x_{n-1}, x_n$的中位数， $x = x_{n/2}$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int n;
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];

    sort(a, a + n); // 从小到大排序
    
    int x = a[n/2]; // 选取中位数
    
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)  res += abs(a[i] - x);
    
    cout << res ;
    return 0;
}

时间复杂度

参考文章