acwing 197. 阶乘分解 | 求阶乘的质因子个数

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题目描述

给定整数 N，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 pi 和 ci 即可。

输入格式

一个整数 N。

输出格式

N! 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 pi,ci，表示含有pi ci 项。按照 pi从小到大的顺序输出。

数据范围

3≤N≤10^6

输入样例：

5

输出样例：

2 3
3 1
5 1

样例解释

5!=120=2^3∗3∗5

求质因数

分析

代码

暴力做法（TLE）

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<cstdio>
using namespace std;
unordered_map<int, int> h;
int n;

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		// 试除法求质数 
		int t = i;
		for(int j = 2; j <= i /j; j++)
		{
			if(t % j ==0)
			{
				int cnt = 0;
				while(t % j == 0)
				{
					cnt++;
					t /= j;	
				}
				h[j] += cnt;
			}
		}
		if(t > 1) h[t] += 1;
	}
	
	for(int i = 2; i <= 1000; i++)
	{
		if(h[i] != 0) printf("%d %d\n", i, h[i]);
	}
	return 0;
}

优化做法

#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
const int N = 1000010;
int cnt = 0;
int primes[N];
bool st[N]; // st[i] = false 表示是质数
// 线性筛法
void get_primes(int n)
{
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
        
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
        {
            st[i * primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}



int main()
{
	cin >> n;
	get_primes(n);
	
	
	
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if(st[i]) continue; // 不是质数,跳过
		
		int cnt = 0;
		long long t = i; // 一个质数  // 注意这里会爆long long 
		
		while(t <= n)
		{
			cnt += n / t;
			t *= i;
		}
		
		printf("%d %d\n", i, cnt);	 
	}
	return 0;
}

原理：

时间复杂度

参考文章

https://www.acwing.com/solution/content/4960/

https://www.cnblogs.com/Slager-Z/p/7780382.html