acwing2. 01背包问题

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题目描述

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

01背包

分析

对每件物品有两个选择

• 不选这个物品
• 当剩余容量大于此物品体积的时候，选择该物品

代码

二维代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j]; // 不选这个物品
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]); // 选这个物品
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
    
}

一维优化代码（具体为什么倒序枚举体积看参考文章）

简单说就是更新当前状态的时候用的是上一轮的状态，为了保证本轮状态更新一直用到的是上一轮的，所以从大到小枚举，可以使得更新时用到的小状态都是上一轮的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
    
}

时间复杂度

$O(mn)$

参考文章

一维动态规划的状态转移方程（ j 采取逆序的方式）

dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])

其实两种做法，实现的思想是一样的，只不过一维数组更省空间，下面具体说说，为什么可以用一维数组来代替,而且要采取逆序的方式。

举例说明

假如枚举到：i = 3, j = 8, v[3] = 5, w[3] = 1

二维：dp[3][8] = max(dp[2][8], dp[2][3] + w[3])   此时的dp[2][8]和dp[2][3]都是上一轮的状态值

一维：dp[8] = max(dp[8], dp[3] + w[3])      我们要保证dp[8]和dp[3]都是上一轮的状态值

按照逆序的顺序，一维dp数组的更新顺序为：dp[8], dp[7], dp[6], ... , dp[3]

也就是说，在本轮更新的值，不会影响本轮中其他未更新的值！较小的index对应的状态是上一轮的状态值！

如果按照顺序进行更新，dp[3] = max(dp[3], dp[0] + w[0])，对dp[3]的状态进行了更新，那么在更新dp[8]时，用到的dp[3]
就不是上一轮的状态了，不满足动态规划的要求。

作者：polaris
链接：https://www.acwing.com/solution/content/3982/
来源：AcWing
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https://www.acwing.com/solution/content/3982/