AcWing 1292. 哥德巴赫猜想，线性筛
题目描述
哥德巴赫猜想的内容如下：
任意一个大于 4 的偶数都可以拆成两个奇素数之和。
例如：
8=3+5
20=3+17=7+13
42=5+37=11+31=13+29=19+23
现在，你的任务是验证所有小于一百万的偶数能否满足哥德巴赫猜想。输入格式
输入包含多组数据。每组数据占一行，包含一个偶数 n。
读入以 0 结束。
输出格式
对于每组数据，输出形如 n = a + b，其中 a,b 是奇素数。若有多组满足条件的 a,b，输出 b−a 最大的一组。
若无解，输出 Goldbach’s conjecture is wrong.。
数据范围
6≤n<106
输入样例：
8
20
42
0
输出样例：
8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37
线性筛
分析
注意线性筛过程中用到的st[]， st[i] = flase 表示i是质数
一开始我专门开了一个unordered_map来保存哪个数是质数，浪费了空间时间（多了一倍）
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<unordered_map>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int cnt = 0;
int primes[N];
int st[N]; //st[i]==true代表i这个数是其他数的倍数--即i不是质数
//unordered_map<int, bool> h;
int n;
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(!st[i])
{
primes[cnt++] = i;
// h[i] = true;
}
for(int j = 0; j < cnt && primes[j] <= n /i; j++)
{
st[i*primes[j]] = true;
if(i%primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main()
{
get_primes(1000000);
while(true)
{
scanf("%d", &n);
if(!n) break;
int i = 0;
bool flag = false;
while(primes[i] < n)
{
// if(h[n - primes[i]])
if(!st[n - primes[i]]) // st[x] = false,表示x是质数
{
printf("%d = %d + %d\n", n, primes[i], n - primes[i]);
flag = true;
break;
}
i++;
}
if(!flag) printf("Goldbach's conjecture is wrong.\n");
}
return 0;
}
时间复杂度
参考文章
https://www.acwing.com/solution/content/22512/
/* 朴素筛:O(nlg(n)lg(n)) 质数:不能是别的数的倍数--从2开始往上遍历每个数的倍数--标记为不能是质数 primes先把1-1e7的所有质数筛出来[3,5,7...] void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (st[i]) continue; primes[cnt ++ ] = i; for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true; } } 线性筛: n 只会被 最小质因子筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;//如果当前数没被筛过 则把i这个数加进质数列表primes里 for (int j = 0; primes[j]*i<=n;j++)//从小到大枚举所有质数 { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; 1 i%primes[j]==0 primes[j]一定是i的最小质因子--(因为从小到大遍历j)primes[j]一定是primes[j]*i的最小质因子 2 i%primes[j]!=0 则primes[j]一定小于i的所有质因子--primes[j]也一定是primes[j]*i的最小质因子 对于一个合数x 假设primes[j] 是x的最小质因子 当i枚举到x/primes[j]时,则后面的合数给后面的质数去筛 } } } 欧拉线性筛的关键在于：每个合数只被它最大的非自身的因数筛掉。 例如： 12不会被4筛掉，而是被6筛掉； 45不会被9筛掉，而是被15筛掉。 当前用于筛素数的数i 被i筛掉的数 被i筛掉的数 被i筛掉的数 被i筛掉的数 2 2 * 2=4 3 3 * 2=6 3 * 3=9 4 4 * 2=8 5 5 * 2=10 5 * 3=15 5 * 5=25 6 6 * 2=12 7 7 * 2=14 7 * 3=21 7 * 5=35 7 * 7=49 8 8 * 2=16 9 9 * 2=18 9 * 3=27 (9 * 5=45) 10 10 * 2=20 | ... | 15 15 * 2=30 15*3 = 45 ← 我们以 12不被4筛掉而被6筛掉 为例： 当 i 循环执行到 i=4 时： 素数表prime中已有两个素数：2和3。 此时在check数组中已经被标记为1的数（合数）是：4、6、9。 因为i=4已经被标记为1，所以我们不将4添加进素数表prime。 此时执行 j循环： 因为素数表prime中有2和3，所以预计将要被筛掉的数是4×2=8 和 4×3=12。 当4×2=8被筛掉以后，经过 i mod prime[j]=0 判断可以知道4mod2=0，此时应结束j循环不再筛4×3=12。 j 循环到 i mod Prime[j]==0 就恰好需要停止的理由是： 下面用 s(smaller) 表示小于 j 的数[0,j)，L(larger) 表示大于 j 的数(j,n]。 1 i 的最小质因数肯定是 Prime[j] （如果 i 的最小质因数是 Prime[s]，那么Prime[s] 更早被枚举到（因为我们从小到大枚举质数），当时就要break） 既然 i的最小质因数是 Prime[j]，那么 i × Prime[j] 的最小质因数也是 Prime[j]。所以，j本身是符合“筛条件”的。 2 i × Prime[s] 的最小质因数确实是 Prime[s]。 （如果是它的最小质因数是更小的质数 Prime[t]，那么当然 Prime[t] 更早被枚举到，当时就要break） 这说明 j 之前（用i×Prime[s]的方式去筛合数，使用的是最小质因数）都符合“筛条件”。 3 i × Prime[L] 的最小质因数一定是 Prime[j]。 （因为 i 的最小质因数是Prime[j]，所以i×Prime[L] 也含有Prime[j] 这个因数（这是 i 的功劳）， 所以其最小质因数也是 Prime[j]（新的质因数Prime[L] 太大了）） 这说明，如果 j继续递增（将以i×Prime[L] 的方式去筛合数，没有使用最小质因数），是不符合“筛条件”的。 举例 prime = [2,3,5,7...] 4 % prime[0] = 0 1. 4的最小质因数 == prime[0] == 2 2. 主要看第三种情况 prime[L]*i == 更大的i次*prime[j] 3. 4*prime[1]=4*3=12 的最小质因数 = prime[0] = 2 所以可以在之后的i==6 时j==0 prime[j]==2时达到 9 % prime[1] = 0 1. 9的最小质因数 == prime[1] == 3 2. 9*prime[0] = 9*2 = 18的最小质因数 = prime[0] = 2 主要看第三种情况 prime[L]*i == 更大的i次*prime[j] 3. 9*prime[2] = 9*5 = 45的最小质因数 = prime[1] = 3 所以 可以在之后的i==15时 j==1 prime[j]==3时达到 */ 作者：仅存老实人 链接：https://www.acwing.com/solution/content/22512/ 来源：AcWing 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
