P3406 海底高铁，差分

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题目描述

题目背景

题目描述

该铁路经过 NN 个城市，每个城市都有一个站。不过，由于各个城市之间不能协调好，于是乘车每经过两个相邻的城市之间（方向不限），必须单独购买这一小段的车票。第 ii 段铁路连接了城市 ii 和城市 i+1(1\leq i<N)i+1(1≤i<N)。如果搭乘的比较远，需要购买多张车票。第 ii 段铁路购买纸质单程票需要 A_iA**i 博艾元。

虽然一些事情没有协调好，各段铁路公司也为了方便乘客，推出了 IC 卡。对于第 ii 段铁路，需要花 C_iC**i 博艾元的工本费购买一张 IC 卡，然后乘坐这段铁路一次就只要扣 B_i(B_i<A_i)B**i(B**i<A**i) 元。IC 卡可以提前购买，有钱就可以从网上买得到，而不需要亲自去对应的城市购买。工本费不能退，也不能购买车票。每张卡都可以充值任意数额。对于第 ii 段铁路的 IC 卡，无法乘坐别的铁路的车。

Uim 现在需要出差，要去 MM 个城市，从城市 P_1P1 出发分别按照 P_1,P_2,P_3,\cdots,P_MP1,P2,P3,⋯,P**M 的顺序访问各个城市，可能会多次访问一个城市，且相邻访问的城市位置不一定相邻，而且不会是同一个城市。

现在他希望知道，出差结束后，至少会花掉多少的钱，包括购买纸质车票、买卡和充值的总费用。

输入格式

第一行两个整数，N,MN,M。

接下来一行，MM 个数字，表示 P_iP**i。

接下来 N-1N−1 行，表示第 ii 段铁路的 A_i,B_i,C_iA**i,B**i,C**i。

输出格式

一个整数，表示最少花费

输入输出样例

输入 #1复制

9 10
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3
200 100 50
300 299 100
500 200 500
345 234 123
100 50 100
600 100 1
450 400 80
2 1 10

输出 #1复制

6394

说明/提示

22 到 33 以及 88 到 99 买票，其余买卡。

对于 30%30% 数据 M=2M=2。

对于另外 30%30% 数据 N\leq1000，M\leq1000N≤1000，M≤1000。

对于 100%100% 的数据 M,N\leq 10^{5，A_i,B_i,C_i\le10}5M,N≤105，A**i,B**i,C**i≤105。

算法求解

分析

用差分来统计每一段$i -> i+1( 1\le i \le n-1)$经过的次数，统计完了之后比较是买卡便宜还是买票便宜

注意

• 根据行程进行差分加和的时候，先判断一下两个站点序号的大小
• 最后的结果res用long long 类型，并且res计算过程中也需要用long long强制转化

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL; 
const int N = 100010;
int A[N], B[N], C[N];
int b[N]; // 表示差分
int path[N]; // 表示经过的路径
int n, m; 
void add(int l, int r)
{
	b[l] += 1;
	b[r+1] -= 1;
} 

int main()
{
	scanf("%d%d",&n, &m);
	for(int i = 0; i < m; i++) scanf("%d", &path[i]);
	// 初始是0，不用构造差分
	
	for(int i = 1; i <= n-1; i++)
	{
		scanf("%d%d%d", &A[i], &B[i], &C[i]); // i -> i+1
	}
	
	// 对每一段 path[i] -> path[i+1] 
	for(int i = 0; i < m-1; i++)
	{
		int x = path[i], y = path[i+1];
		if(x > y) swap(x, y);
		
		add(x, y-1);
	}
	
	// 求前缀和, b[i]表示每段站经过的次数 
	for(int i = 1; i <= n-1; i++) b[i] += b[i-1];
		
	LL res = 0;
	for(int i = 1; i <= n-1; i++)
	{
		LL fee1 = (LL)A[i] * b[i];
		LL fee2 = (LL)B[i] * b[i] + C[i];
		
		if(fee1 > fee2) res += fee2;
		else			res += fee1;	
	}	 
	cout << res << endl;
	return 0;
} 

时间复杂度

参考文章