AcWing 858. Prim算法求最小生成树
题目描述
给定一个 nn 个点 mm 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|n=|V|，m=|E|m=|E|。
由 VV 中的全部 nn 个顶点和 EE 中 n−1n−1 条边构成的无向连通子图被称为 GG 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 GG 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 nn 和 mm。
接下来 mm 行，每行包含三个整数 u,v,wu,v,w，表示点 uu 和点 vv 之间存在一条权值为 ww 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。数据范围
1≤n≤5001≤n≤500,
1≤m≤1051≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000010000。输入样例：
4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4输出样例：
6
prim算法求解
分析
- dist[i] <- INF
- for(i)
- 找到集合外距离最近的点t
- 用t更新其他点到集合的距离
- st[t] = true
要点其实是：每次贪心找到一条最小生成树上的路径
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N]; // 建图
int dist[N]; // dist[i]表示i到集合的距离
bool st[N]; // 表示当前的点在不在集合内部
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist); // 初始化所有点的距离到集合为INF
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) // 循环n次，每次确定一个加入集合的点
{
// 选择集合外一个到集合最近的点
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
t = j;
if(i && (dist[t] == INF)) return INF; // 如果不是第一轮，并且集合外离集合最近的点的距离是INF，说明这个图不连通，直接返回inf
if(i) res += dist[t]; // 不是第一论， 就把这条边加到最小生成树的路径里面
st[t] = true; // 这个点加入集合
for(int k = 1; k <= n; k++) dist[k] = min(dist[k], g[t][k]); // 用t这个点更新其他点到集合的距离（集合内的点不用更新）
// 上面先计算最短路，再更新其他点的顺序不能变
}
return res;
}
int main()
{
memset(g, 0x3f, sizeof g);
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < m; i++)
{
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
g[u][v] = g[v][u] = min(g[u][v], w); // 是无向图；有重边
}
int t = prim();
if(t == INF) printf("impossible");
else printf("%d", t);
return 0;
}
时间复杂度
参考文章
用一个pre数组来实现路径查询
#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 510; int g[N][N];//存储图 int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离 int st[N];//节点是否被加入到生成树中 int pre[N];//节点的前去节点 int n, m;//n 个节点，m 条边 void prim() { memset(dt,0x3f, sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右） int res= 0; dt[1] = 0;//从 1 号节点开始生成 for(int i = 0; i < n; i++)//每次循环选出一个点加入到生成树 { int t = -1; for(int j = 1; j <= n; j++)//每个节点一次判断 { if(!st[j] && (t == -1 || dt[j] < dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点 t = j; } st[t] = 1;// 选择该点 res += dt[t]; for(int i = 1; i <= n; i++)//更新生成树外的点到生成树的距离 { if(dt[i] > g[t][i] && !st[i])//从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。 { dt[i] = g[t][i];//更新距离 pre[i] = t;//从 t 到 i 的距离更短，i 的前驱变为 t. } } } } void getPath()//输出各个边 { for(int i = n; i > 1; i--)//n 个节点，所以有 n-1 条边。 { cout << i <<" " << pre[i] << " "<< endl;// i 是节点编号，pre[i] 是 i 节点的前驱节点。他们构成一条边。 } } int main() { memset(g, 0x3f, sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数 cin >> n >> m;//输入节点数和边数 while(m --) { int a, b, w; cin >> a >> b >> w;//输出边的两个顶点和权重 g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w);//存储权重 } prim();//求最下生成树 //getPath();//输出路径 return 0; } 作者：Hasity 链接：https://www.acwing.com/solution/content/38312/ 来源：AcWing 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
