acwing 876. 快速幂求逆元

题目描述

给定 nn 组 ai,pi其中 pi是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 b，mb，m 互质，并且对于任意的整数 aa，如果满足 b|ab|a，则存在一个整数 xx，使得 a/b≡a×x(modm)a/b≡a×x(modm)，则称 xx 为 bb 的模 mm 乘法逆元，记为 b−1(modm)b−1(modm)。
bb 存在乘法逆元的充要条件是 bb 与模数 mm 互质。当模数 mm 为质数时，bm−2bm−2 即为 bb 的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi数据保证 pipi 是质数。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

1≤n≤105
1≤ai,pi≤2∗109

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

快速幂算法求解

分析

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a / b ≡ a * x (% m)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 \(b^{−1}(\% m)\)

根据费马小定理：\(b^{m-1} ≡ 1 (\% m)\)，

所以有\(b*b^{m-2} ≡ 1 (\% m)\)

又因为b存在乘法逆元的充要条件为b，m互质，所以当m为质数的时候，b的逆元就是\(b^{m-2}\%m\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll ksm(int a, int b, int p)
{
    ll res = 1;
    ll t = (ll)a;
    while(b)
    {
        if(b&1) res = (res * t) % p;
        
        t = (t * t) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    int a, p;
    
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d", &a, &p);
        if(a % p == 0) puts("impossible"); // 数据保证了p是质数，判断a和p是否互质，只需要看p是不是a的因子
        else    printf("%d\n", ksm(a, p-2, p));
    }
    return 0;
    
}

时间复杂度

参考文章