完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

暴力做法

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N], v[N], w[N];

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
	
	for(int i = 1; i <= n; i++) // 前i件物品 
		for(int j = 0; j <= m; j++) // 背包容量 
			for(int k = 0; k*v[i] <= j; k++) // 第i件物品选择k个，k = 0,1,2,3,4,…… 
			{
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]);
			}
	
	cout << f[n][m] << endl; 
	
	return 0;
}
 

优化一下

f[i,j] = max(f[i-1, j-k*v[i]] + k*w[i])

看一下f[i,j], f[i, j-v[i]]之间的关系

f[i,j] = max(f[i-1, j], f[i-1, j-v] + w, f[i-1, j-2v] + 2w) ...

f[i,j-v] = max( f[i-1, j-v] , f[i-1, j-2v] + w) ...

可以发现

f[i,j] = max(f[i-1, j], f[i, j-v] + w)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N], v[N], w[N];

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
	
	for(int i = 1; i <= n; i++) // 前i件物品 
		for(int j = 0; j <= m; j++) // 背包容量 
		{
			f[i][j] = f[i-1][j];
			if(j >= v[i])
			{
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);	
			}	
		} 
	
	cout << f[n][m] << endl; 
	
	return 0;
}