牛客寒假训练第四场-J
线性筛+暴力分解质因数+快速幂
首先对于\(gcd(x_1, x_2, ..., x_n)\)有两种解法
- 辗转相除法，每次用辗转相除法求两个数的gcd，然后用结果再和下一个数求gcd即可
- 对每个\(x_i\) 分解质因子，n个数的最大公倍数就是：n个数所有（公共质因子的最小次幂 ）的积
对于方法2，举个例子：
\(12 = 2^2*3\)
\(8 = 2^3\)
\(18=2*3^2\)
\(10=2*5\)
那么这三个数的最大公因数就是：\(2^{min(2,3,1,1)}*3^{min(1,0,2,0)}*5^{min(0,0,0,1)} = 2^1 = 2\)
由于\((x^a)^b = x^{a*b}\)
所以假设 \(x_i\)可以质数分解成为：\(x_i = p_{i1}^{k_{i1}}* p_{i2}^{k_{i2}}*...* p_{it}^{k_{it}}\)；其中\(p_{ij}\)表示分解的质数， \(k_{ij}\)表示该质数的幂
\(x_i^{b_i} = p_{i1}^{k_{i1} * b_i}* p_{i2}^{k_{i2}*b_i}*...* p_{it}^{k_{it}*b_i}\)
其中质数分解，直接暴力分解即可。
我们的任务就是找出每个质数最小的幂（没有这个质数，幂就是0），然后用快速幂相乘即可。
需要注意的是，对任意一个数分解质因子时，要求出1-10000所有质数的幂，比如 \(10= 2^1*3^0*5^1*7^0*11^0*...\) ，因为这里的0次也是有用的，表示n个数该质因子最小幂次是0，不能省略掉。
ac代码
// 分解质因数，求每个数所有质因数及其幂次
#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int cnt=0;
int vis[10010]; //
int x[10010], p[10010], prime[10010]; // prime存质数
int num[10010]; // 存每个质数的最小幂次，初始化成0x7f7f7f7f; num[i]表示prime[i]的最小幂次
int n;
// 快速幂
ll ksm(int n, int k)
{
ll ans = 1;
ll tot = n;
while(k){
if(k&1) ans=ans*tot%mod;
tot = tot*tot%mod;
k>>=1;
}
return ans%mod;
}
// 打印质数表
void table(int n)
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(int i=2; i<=n; ++i){
if(!vis[i])
prime[cnt++]=i;
for(int j=0; j<cnt && 1ll*i*prime[j]<=n; ++j){
vis[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
int main()
{
table(10000);
scanf("%d",&n);
for(int i=0; i<n; ++i){
scanf("%d", &x[i]);
}
for(int i=0; i<n; ++i){
scanf("%d", &p[i]);
}
memset(num, 0x7f7f7f7f, sizeof(num));
for(int i=0; i<n; ++i){
for(int j=0; j<cnt; ++j){ // 暴力分解质因数即可; 要分解出所有的质因数，包括幂次 为0的
// if(x[i] == 1) break;
// if(x[i]%prime[j]!=0) continue;
int t=0;
while(x[i]%prime[j]==0) {
x[i]/=prime[j];
t++;
}
num[j] = min(num[j], t*p[i]);
}
}
ll ans=1;
for(int i=0; i<cnt; ++i){
if(num[i]==0) continue;
ans = ans*ksm(prime[i], num[i])%mod;
}
printf("%lld", ans);
}
时间复杂度：\(O(n)\)
