状态压缩动态规划
leetcode 状态压缩动态规划
题目描述：
给你一个整数数组 jobs ，其中 jobs[i] 是完成第 i 项工作要花费的时间。
请你将这些工作分配给 k 位工人。所有工作都应该分配给工人，且每项工作只能分配给一位工人。工人的 工作时间 是完成分配给他们的所有工作花费时间的总和。请你设计一套最佳的工作分配方案，使工人的 最大工作时间 得以 最小化 。
返回分配方案中尽可能 最小 的 最大工作时间 。
示例 1：
输入：jobs = [3,2,3], k = 3
输出：3
解释：给每位工人分配一项工作，最大工作时间是 3 。
示例 2：
输入：jobs = [1,2,4,7,8], k = 2
输出：11
解释：按下述方式分配工作：
1 号工人：1、2、8（工作时间 = 1 + 2 + 8 = 11）
2 号工人：4、7（工作时间 = 4 + 7 = 11）
最大工作时间是 11 。
提示：
1 <= k <= jobs.length <= 12
1 <= jobs[i] <= 107
分析：
1 状态压缩：
\(jobs [a_1, a_2, ..., a_n]\) 假设长度为n，那么从jobs中取出元素的情况有\(2^n\) 种(每个\(a_i\)取或者不取)，每种状态都可以可以用一个n位的二进制数\(i\)表示 \(i \in\)[0, \(2^n-1\)]，
准确说\(i\)表示的是一个集合，该集合包含jobs中元素若干，比如对于jobs = [3,2,3]，使用3（二进制就是011）表示选取了3，2两个元素。使用7（二进制111）表示选取了3，2，3元素；使用5（二进制101）表示选取了3，3两个元素。
2 动态规划
\(tot[i]\) 表示的是集合\(i\)中所含工作时间的总和，那么设\(i\)中某个元素在jobs中的下标为\(j\)，\(i - (1<<j)\) 表示从集合i中去掉了元素j，则可以得到
\(tot[i] = tot[i - (1<<j)] + jobs[j]\)
使用\(dp[j][i]\)表示：前\(j\)个工人完成工作子集\(i\)所用的最大时间的最小值
状态转移方程为：\(dp[j][i] = min_{s \sube i} (max(dp[j-1][i-s], tot[s]))\)
\(dp[j-1][i-s]\)表示前\(j-1\)个工人，完成工作子集\(i-s\)所用的最大时间的最小值，\(tot[s]\)表示的就是第\(j\)个工人完成工作子集\(s\)所用的时间
AC代码：
class Solution {
public:
int minimumTimeRequired(vector<int>& jobs, int k) {
int n = jobs.size();
vector<int> tot(1<<n, 0); //创建一个2^n大小的tot数组，每个元素表示一个集合
// tot[i] 表示集合i的总工作时间
// 集合0表示所有工作都不选，这种不用考虑
for(int i = 1; i < (1<<n); ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if((i & (1<<j)) == 0) continue; // 如果集合i中没有j这个元素
int rest = i - (1<<j); // rest相当于把i的第j位清零
tot[i] = tot[rest] + jobs[j]; //把jobs[j]的时间加入到集合中
break;//
}
}
//
vector<vector<int>> dp(k, vector<int>(1<<n, -1));
//初始化
for (int i = 0; i < (1<<n); ++i) {
dp[0][i] = tot[i]; //只有一个人做集合i，那么就是所有工作
}
for (int i = 0; i < k; i++) {
dp[i][0] = 0; //集合0中有0个工作，
}
for(int j = 1; j < k; ++j) {
for(int i = 1; i < (1<<n); ++i) {
int min_val = INT_MAX;
for(int s = i; s; s = (s-1) & i) {
int left = i - s;
int val = max(dp[j-1][left], tot[s]);
min_val = min(min_val, val);
}
dp[j][i] = min_val;
}
}
return dp[k-1][(1<<n)-1];
}
};
参考题解：
