数据结构：二叉搜索树

二叉搜索树

• 二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），
  也称二叉排序树或二叉查找树

二叉搜索树：一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：

1. 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。
2. 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。
3. 左、右子树都是二叉搜索树。
   

二叉树的特别操作

• Position Find( ElementType X, BinTree BST )：从二叉搜索树BST中查找元素X，返回其所在结点的地址；
• Position FindMin( BinTree BST )：从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址；
• Position FindMax( BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址。
• BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )
• BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST )

Find 操作

• 查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL
• 若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，并进行不同处理：
  • 若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索；
  • 如果X大于根结点的键值，在右子树中进行继续搜索；
  • 若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针。
    

实现代码：尾递归（可转化为循环）

Position Find( ElementType X, BinTree BST )
{
if( !BST ) return NULL; /*查找失败*/
if( X > BST->Data )
return Find( X, BST->Right ); /*在右子树中继续查找*/
Else if( X < BST->Data )
return Find( X, BST->Left ); /*在左子树中继续查找*/
else /* X == BST->Data */
return BST; /*查找成功，返回结点的找到结点的地址*/
}
都是“尾递归”

• 查找的效率决定于树的高度

查找最大和最小元素

• 最大元素一定是在树的最右分枝的端结点上
• 最小元素一定是在树的最左分枝的端结点上
  

查找最小元素的递归函数
Position FindMax( BinTree BST )
{
if(BST )
while( BST->Right ) BST = BST->Right;
/*沿右分支继续查找，直到最右叶结点*/
return BST;
}

查找最大元素的迭代函数
Position FindMin( BinTree BST )
{
if( !BST ) return NULL; /*空的二叉搜索树，返回NULL*/
else if( !BST->Left )
return BST; /*找到最左叶结点并返回*/
else
return FindMin( BST->Left ); /*沿左分支继续查找*/
}

二叉搜索树的插入

• 〖分析〗关键是要找到元素应该插入的位置，
• 可以采用与Find类似的方法
• 

BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )
{
if( !BST ){
/*若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树*/
BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
BST->Data = X;
BST->Left = BST->Right = NULL;
}else /*开始找要插入元素的位置*/
if( X < BST->Data )
BST->Left = Insert( X, BST->Left);
/*递归插入左子树*/
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Insert( X, BST->Right);
/*递归插入右子树*/
/* else X已经存在，什么都不做 */
return BST;
}

二叉搜索树的删除

• 考虑三种情况：
• 要删除的是叶结点：直接删除，并再修改其父结点指针---置为NULL
  

BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST )
{ Position Tmp;
if( !BST ) printf("要删除的元素未找到");
else if( X < BST->Data )
BST->Left = Delete( X, BST->Left); /* 左子树递归删除 */
else if( X > BST->Data )
BST->Right = Delete( X, BST->Right); /* 右子树递归删除 */
else /*找到要删除的结点 */
if( BST->Left && BST->Right ) { /*被删除结点有左右两个子结点 */
Tmp = FindMin( BST->Right );
/*在右子树中找最小的元素填充删除结点*/
BST->Data = Tmp->Data;
BST->Right = Delete( BST->Data, BST->Right);
/*在删除结点的右子树中删除最小元素*/
} else { /*被删除结点有一个或无子结点*/
Tmp = BST;
if( !BST->Left ) /* 有右孩子或无子结点*/
BST = BST->Right;
else if( !BST->Right ) /*有左孩子或无子结点*/
BST = BST->Left;
free( Tmp );
}
return BST;