【01背包】Codeforces 730J

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题意

现在有 n 瓶已经打开的可乐，每瓶可乐有两个值 \(a_i\):剩余的可乐容量,\(b_i\):瓶子的体积。

现在可以把一个瓶子里的可乐倒向其他瓶子，倒体积为 \(x\) 的可乐花费的时间为 \(x\)。

问最少需要几个瓶子可以装这些可乐，以及倒可乐花费的最少时间。

思路

01背包

首先直接按照可乐瓶子的体积排序，从大到小遍历可以求出最少瓶子数量 \(num\)。

因为倒可乐的花费等于倒的体积，所以我们选择的 \(num\) 个瓶子中可乐的剩余体积要尽可能的大，并且要保证总体积大于剩余可乐的总体积。

其实就是加一维的01背包。

\(dp[i][j][k]\) 表示在前 \(i\) 瓶可乐中，选择 \(j\) 瓶，总容量为 \(k\) 的可乐所剩余的可乐体积的最大值。

优化掉第一维，转移方程如下：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = min(i, num); j; j--) {
        for (int k = sum2; k >= arr[i].v; k--) {
            dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - 1][k - arr[i].v] + arr[i].w);
        }
    }
}

所需可乐瓶数量最少为 \(num\),剩余可乐总体积为 \(sum1\)，所有瓶子的总体积 \(sum2\)。

我们遍历 \(dp[n][num][sum1 ， sum2]\) 求最大值 \(maxn\)。

最后的花费即 \(sum1 -maxn\)

感觉复杂度很高，但是循环常数比较小，可以写

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <vector>
#define emplace_back push_back
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod = 1e9 + 7;
const int seed = 12289;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e2 + 10;

struct note {
    int w, v;
} arr[N];
bool cmp(note a, note b)
{
    return a.v > b.v;
}

int dp[101][10001];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int sum = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i].w);
        sum += arr[i].w;
    }
    int rel = sum;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i].v);
        sum2 += arr[i].v;
    }
    sort(arr + 1, arr + 1 + n, cmp);
    int num = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum -= arr[i].v;
        if (sum <= 0) {
            num = i;
            break;
        }
    }
    memset(dp, 0x8f, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = min(i, num); j; j--) {
            for (int k = sum2; k >= arr[i].v; k--) {
                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - 1][k - arr[i].v] + arr[i].w);
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = rel; i <= sum2; i++) {
        ans = max(ans, dp[num][i]);
    }
    printf("%d %d\n", num, rel - ans);
    return 0;
}