【2018 icpc 南京站】G - Pyramid 打表+找规律

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题意

给出如下形状的图形的层数 \(n\)。

让求出其中等边三角形的个数。

解题过程

由于 \(n\) 非常的大，所以肯定是规律题。

我们首先是先找出前几项，竟然用手数。。。。

三个人没人想到写个代码打表

数了好久，数成了 33，第 5 个 数成了 60 个。

假如边长为 \(n\) 的三角形，有 \(f(n)\) 个。

可以看出

\(f(n)=3 \times (f(n-1) -f(n-2))+f(n-3)+?\)

因为我们之前规律找错了，所以一直不对，后来发现 n=4 的时候，不是 33 是 35，确定最后一个数字是 n，即：

\(f(n)=3 \times (f(n-1) -f(n-2))+f(n-3)+n\)

找出来这规律没卵用，这没办法用矩阵快速幂加速。

又用这个公式往后推了推，找到 10 项左右。

队友写着写着发现，做差做差再做差是一个公差为 1 的等差数列，后来发现就是 \(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24\)

才过掉。

赛后看题解，感觉自己是个傻逼，手数三角形。

题解

直接写个程序打表，做 4 次差之后，所有的差都为 1 ，那么通项公式应该是一个 4 次函数。

将打表得到的几个值代入，求出系数。

就可以O(1)得到答案了。

打表代码

/*
 * @Autor: valk
 * @Date: 2020-08-21 11:06:28
 * @LastEditTime: 2020-10-13 21:03:50
 * @Description: 如果邪恶  是华丽残酷的乐章 它的终场 我会亲手写上 晨曦的光 风干最后一行忧伤 黑色的墨 染上安详
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define emplace_back push_back
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod = 1e9 + 7;
const int seed = 12289;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e3 + 10;

struct note {
    double x, y;
} point[N];
int tot;
double ffabs(double x)
{
    if (x < 0)
        return -x;
    return x;
}

double dis(int i, int j)
{
    return pow(point[i].y - point[j].y, 2) + pow(point[i].x - point[j].x, 2);
}

int judge(int i, int j, int k)
{
    if (ffabs(dis(i, j) - dis(j, k)) <= eps && ffabs(dis(i, j) - dis(i, k)) <= eps)
        return 1;
    return 0;
}
void solve(int n)
{
    tot = 0, ++n;
    for (int i = n; i; i--) {
        double x = 1.0 * (n - i) / 2, y = (n - i) * sqrt(3) / 2;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            point[++tot].x = x;
            point[tot].y = y;
            x += 1;
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= tot; i++) {
        for (int j = i + 1; j <= tot; j++) {
            for (int k = j + 1; k <= tot; k++) {
                if (judge(i, j, k)) {
                    ans++;
                }
            }
        }
    }
    printf("ans is %d\n", ans);
}

int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n)) {
        solve(n);
    }
    return 0;
}

AC代码

/*
 * @Autor: valk
 * @Date: 2020-04-04 14:56:12
 * @LastEditTime: 2020-10-13 21:28:39
 * @Description: 如果邪恶  是华丽残酷的乐章 它的终场 我会亲手写上 晨曦的光 风干最后一行忧伤 黑色的墨 染上安详
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define fuck system("pause")
#define emplace_back push_back
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod = 1e9 + 7;
const int seed = 12289;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 10;

ll qpow(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    a %= mod;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = (ans * a) % mod;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans % mod;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        ll ans = 1LL * n * (n + 1) % mod * (n + 2) % mod * (n + 3) % mod * qpow(24, mod - 2) % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}