有关Chauchy-Schwarz不等式的例题

例：设 f(x) 在 [a, b] 上可微, 且 f′∈R([a, b]), 则存在M，对于任意x,y∈[a, b]使得

$             |f(y)-f(x)|≤M|y-x|^{1/2}$

法1：令\(M=(∫^b_a|f'(t)|^2dt)^{1/2}\)

   $          |f(y)-f(x)|=|∫^y_xf'(t)dt|≤∫^y_x|f'(t)|dt$

由Chauchy-Schwarz不等式

$∫^y_x|f'(t)|dt≤(∫^y_x|f'(t)|^2dt|y-x|])^{1/2}≤M|y-x|^{1/2}，得证$

法2；由f ′ ∈ R([a, b])，得存在M'，使得对于任意t∈[a, b]，|f'(t)≤M'， |f(y)-f(x)|≤M'|y-x|

        当b-a≤1时，|y-x|≤1，则令M=M'，\( |f(y)-f(x)|≤M'|y-x|=M|y-x|≤M|y-x|^{1/2}\)

        当b-a>1时，令M=M'(b-a)，\(|f(y)-f(x)|≤M'|y-x|=\frac{M|y-x|}{b-a}≤M|y-x|^{1/2}，得证\)