q级数\(Σ^∞_{n=1}\frac{1}{n^q}\)的敛散性

\(设a_n=1/n^q，S_n=a_1+a_2+...+a_n，\)

当q=1时，取ε=1/2，则\(lim_{n→∞}sup_{p>0}|S_{n+p}  -S_n|≥S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}≥1/2>0\)

由Cauchy准则，级数发散。

当q=2时，对于任意正整数n,p,

$|S_{n+p}  -S_n|=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(n+p)^2}$

                      $             <\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}$

                      $                      =(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+...+(\frac{1}{n+p-1}-\frac{1}{n+p})$

                      $                      =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}≤\frac{1}{n}$

显然当n→∞时，\(sup_{p>0}→0\)，由Cauchy准则，级数收敛。

由比较判别法可知，当q≤1时，级数发散，当q≥2时，级数收敛。下面讨论当q>1时。

$S_n=Σ^n_{k=1}\frac{1}{k^q}=1+Σ^n_{k=2}\frac{1}{k^q}<1+Σ^n_{k=2}∫^k_{k-1}\frac{dx}{x^q}$

$      =1+∫^n_1\frac{dx}{x^q}=1-\frac{1}{(q-1)x^{q-1}}|^n_1<1+\frac{1}{q-1}$

即级数有界，又由\(a_n>0，得S_n单调递增，由单调有界原理得S_n收敛，即级数收敛 \)。

综上，当q≤1时级数发散，当q>1时级数收敛。