使用多项式解决矩阵问题

1) 首先证明i)推ii)成立

\(|A||A^{-1}|=1，且A和A^{-1}均为整矩阵，即|A|和|A^{-1}|均为整数，则|A|=±1.\)

     再证明ii)推i)成立

\(设A的伴随矩阵为A*，由A为整矩阵得A*也为整矩阵，A^{-1}=|A|^{-1}A*，显然A^{-1}也为整矩阵\)

2)设f(x)=|A-xB|，显然degf(x)≤n

由1)得|A|,|A-2B|,|A-4B|....|A-2nB|,|A-2(n+1)B|,....|A-2(n+n)B|的绝对值均为1，即|f(0)|=|f2)|=.....=|f(4n)|=1

即f(x)=±1有2n+1个解，由degf(x)≤n得，若degf(x)＞0，f(x)=±1至多有2n个解，矛盾。

则|f|恒等于1，将x=-1带入，得f(-1)=|A+B|=±1，则A+B可逆。