Cauchy中值定理

Cauchy中值定理：设函数f(x)和g(x)均在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且对任何x∈(a,b)均有g'(x)≠0，则存在ξ∈(a,b)，使得\(\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)

证明：在所假设的条件下，g(a)≠g(b)，否则由Rolle定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0，与假设矛盾。

令\(F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]\)，a≤x≤b，

则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且F(a)=F(b)=0。由Rolle定理，存在∈(a,b)，使得F'(ξ)=0，

即\(F'(ξ)=f'(ξ)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(ξ)=0\)

因此\(\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)，得证。