Rolle中值定理和Lagrande中值定理

首先引入Fermat引理：设函数f(x)在点\(x_0的某个邻域N(x_0,δ)中有定义，在点x_0可导，且有\)

                                            $f(x)≤f(x_0)(或f(x)≥f(x_0)),x∈N(x_0,δ)$

则\(f'(x_0)=0\)

 

Rolle中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使得\(f'(ξ)=0\)

证明：由于f(x)在[a,b]上连续，则由最值定理可知必有\(x_1,x_2∈[a,b]，使得f(x_1),f(x_2)分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。\)

如果\(x_1,x_2\)恰为端点，则f(x)≡f(a)，此时ξ可以任取。

否则\(x_1,x_2\)中至少有一个在(a,b)内，就记为ξ，于是ξ满足Fermat引理中\(x_0的条件，即f'(ξ)=0\)

 

Lagrande中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使得\(f'(ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

证明：令\(F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)，a≤x≤b

由连续函数的四则运算，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且F(a)=F(b)=0，由Rolle中值定理，则存在ξ∈(a,b)使得\(F'(ξ)=0\)，即

                                                                      $f'(ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$