Riemann函数在(0,1)上的极限

Riemann函数：当x为无理数时，R(x)=0。当x=p/q，p∈Z，q∈N*，(p,q)=1，R(x)=1/q。

任意\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)=0\)

证明：反证。若存在\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)≠0\)

则对于任意的ε＞0，当R(x)≥0时，显然x为有理数，设x=p/q，则q≤[1/ε]

在(0,1)上，这样的x有有限多个，不妨记为\(x_1,x_2,.....x_N\)

令δ=min{\(|x_1-x_0|,|x_2-x_0|,.....,|x_N-x_0|\)}

当\(0＜|x-x_0|＜δ\)时，有R(x)＜ε，由函数极限的定义，lim_{x→x_0}R(x)=0，矛盾。

则任意\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)=0\)