子数列收敛定理（任何有界数列必有收敛子数列）

设数列\({x_n}\)满足a≤\(x_n\)≤b，将区间[a,b]二等分，用\([a_1,b_1]\)表示含有\({x_n}\)中无穷多项的一半区间（若两个半区间均含有\({x_n}\)中的无穷多项，则任取其中一部分作为\([a_1,b_1]\)），并取\(x_{n_1}∈[a_1,b_1]\)。再将\([a_1,b_1]\)二等分，用\([a_2,b_2]\)表示含有\({x_n}\)中无穷多项的一半区间，并取\(x_{n_2}∈[a_2,b_2]，n_1＜n_2\)。如此继续下去，可得到\({x_n}\)的一个子数列\({x_{n_k}}\)，满足

\(x_{n_k}∈[a_k,b_k]\)，

且闭区间

\([a_1,b_1]⊆[a_2,b_2]⊆......，0≤lim_{n→∞}(b_n-a_n)≤lim_{n→∞}\frac{b-a}{2^n}\)

由闭区间套定理，存在唯一常数c，使得

\(lim_{n→∞}a_n=lim_{n→∞}b_n=c\)

由于\(a_k≤x_{n_k}≤b_k\)，由夹挤定理，\(lim_{n→∞}x_{n_k}=c\)