用上下极限判定数列的算数平均值的极限

设\(lim_{n→∞}x_n=A,y_n=\frac{1}{n}(x_1+x_2+.....+x_n)，证明lim_{n→∞}y_n=A\)

对于任意给定的ξ＞0，存在正整数N，使得\(|x_n-A|＜ξ\)，∀n＞N

则\(|y_n-A|=\frac{1}{n}|(x_1-A)+(x_2-A)+.....+(x_N-A)+(x_{N+1}-A)+.....+x_n)|\)

                    \(≤\frac{1}{n}∑_{k=1}^N|x_k-A|+\frac{n-N}{n}ξ\)

                     \(＜ξ+\frac{1}{n}∑_{k=1}^N|x_k-A|，∀n＞N\)

设\(y_n的上极限为x_n，下极限为b_n\)

令n→∞，对上述不等式取上极限，得\(lim_{n→∞}a_n≤ξ\)

由ξ的任意性可知\(lim_{n→∞}a_n=0\)

由\(|y_n-A|\)为非负数列，\(lim_{n→∞}b_n≥0\)

所以\(0≤lim_{n→∞}b_n≤lim_{n→∞}a_n=0\)

即\(lim_{n→∞}b_n=lim_{n→∞}a_n=0，所以lim_{n→∞}y_n=A\)