证明数列\(x_n=(1+\frac{1}{n})^n和y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)收敛

对于任意正整数n，由Bernoulli不等式有   

\(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n^n(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{2n+1}}\)

        \(=(\frac{n^2+2n}{(n+1)^2})^n\frac{n+2}{n+1}\)

        \(=(1-\frac{1}{n^2+2n+1})^n\frac{n+2}{n+1}\)

        \(≥(1-\frac{n}{n^2+2n+1})\frac{n+2}{n+1}\)

        \(=\frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1}\)

        \(≥1\)

对于任意正整数n≥2

\(\frac{y_{n-1}}{y_n}=\frac{n^{2n+1}}{(n-1)^n(n+1)^{n+1}}\)

         \(=(\frac{n^2}{(n^2-1})^n\frac{n}{n+1}\)

         \(=(1+\frac{1}{(n^2-1})^n\frac{n}{n+1}\)

         \(≥(1+\frac{n}{(n^2-1})\frac{n}{n+1}\)

         \(=\frac{n^3+n^2-n}{n^3+n^2-n-1}\)

        \( ≥1\)

因此对于任意正整数你都有\(2=x_1≤x_n≤y_n≤y_1=4\)，所以他们都是收敛的。