自然对数e是无理数吗

由定义，\(e=lim_{n→+∞}(1+\frac{1}{n})^n\)

\((1+\frac{1}{n})^n=C^0_n+\frac{C^1_n}{n}+\frac{C^2_n}{n^2}+.....+\frac{C^n_n}{n^n}\)

                          \(=1+\frac{n}{n*1!}+\frac{n(n-1)}{n^2*2!}+.....+\frac{n(n-1)(n-2).....1}{n^n*n!}\)

由于n趋于正无穷，所以\((1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+......\)

即\(e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+......\)

设e=a/b，其中a、b为正整数，即\(a\b=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+......\)

所以\(a(b-1)!=b!+\frac{b!}{1!}+\frac{b!}{2!}+\frac{b!}{3!}+.....+\frac{b!}{b!}+\frac{b!}{(b+1)!}+\frac{b!}{(b+2)!}+.....\)

                  \(=b!+b(b-1)(b-2).....2+b(b-1)(b-2).....3+.....b(b-1)(b-2)+b(b-1)+b+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}.....\)

显然等式左边a(b-1)!为正整数，等式右边b!+b(b-1)(b-2).....2+b(b-1)(b-2).....3+.....b(b-1)(b-2)+b(b-1)+b为正整数，但\(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}.....\)为分数，所以等式右边不为正整数，矛盾。所以e不为有理数。