二位柯西不等式的几何证明方法

二位柯西不等式\((ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)

如图，两张图片中颜色相同的三角形全等，且均为直角三角形，不妨设蓝色三角形的直角边边长分别为a、b，黄色三角形的直角边边长分别为c、d。显然，两种图片中中心白色的部分分别为平行四边形和矩形，且两图形对应边长分别相等，设平行四边形的某一内角大小为θ，则平行四边形面积\(S_平=(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}sinθ\)，矩形面积\(S_矩=(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}\)，因为sinθ≤1，所以平行四边形面积小于等于矩形面积，设图一整体面积为\(S_1=(a+d)(b+c)\)，图二整体面积为\(S_2=ab+cd+(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}\)，显然\(S_1≤S_2\)，即\(ac+bd≤(a^2+b^2)^{1/2}(c^2+d^2)^{1/2}，即(ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)\)