0/0型洛必达法则

在区间(a, b)上，f(x)和g(x)都可导、g^′(x) ≠ 0、lim_{x → a⁺}f(x) = lim_{x → a⁺}g(x) = 0，

$$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)}  $$

证明：设f(a)=g(a)=0，则有lim_{x → a⁺}f(x) = f(a) = 0、lim_{x → a⁺}g(x) = g(a) = 0，所以这个定义使得f(x)和g(x)在[a, b)上连续。取任意的x ∈ (a, b)，由于f(x)和g(x)在[a, x]上满足使用柯西中值定理的条件，所以有

$$\frac{f(x) - f(a)}{g\left( x \right) - g\left( a \right)} = \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)}$$

因为f(a)=g(a)=0，所以

$$\frac{f(x)}{g\left( x \right)} = \frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)}$$

x → a⁺时，因为c在(a, x)上，所以c → a⁺，所以

$$\lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( c \right)}{g^{'}\left( c \right)} = \lim_{c \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( c \right)}{g^{'}\left( c \right)} = \lim_{x \rightarrow a^{+}}\frac{f^{'}\left( x \right)}{g^{'}\left( x \right)}  $$