算数-集合平均值不等式

设\(x_1,x_2,x_3.....x_n\)为n个正整数，它们的算数平均值为\(A_n=\frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_n}{n}\)，它们的几何平均值为\(G_n=(x_1x_2x_3.....x_n)^{1/n}，对于任意正实数x_1,x_2,x_3.....x_n\)总有\(A_n≥G_n\)

证明：\(ln(\frac{G_n}{A_n})\)

\(=ln(\frac{x_1x_2x_3...x_n}{A_n^n})^{1/n}\)

\(=(1/n)ln(\frac{x_1x_2x_3.....x_n}{A_n^n})\)

\(=(1/n)ln(\frac{x_1}{A_n}*\frac{x_2}{A_n}*\frac{x_3}{A_n}.....\frac{x_n}{A_n})\)

\(=(1/n)(ln\frac{x_1}{A_n}+ln\frac{x_2}{A_n}+ln\frac{x_3}{A_n}+.....+ln\frac{x_n}{A_n})\)

\(≤(1/n)(\frac{x_1}{A_n}-1+\frac{x_2}{A_n}-1+\frac{x_3}{A_n}-1+.....+\frac{x_n}{A_n}-1)\)

\(=(1/n)(\frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_n}{A_n}-n)\)

\(=(1/n)(n-n)\)

=0

即\(ln(\frac{G_n}{A_n})≤0\)，因为\(A_n,G_n\)均为正实数，所以\(A_n≥G_n\)，当且仅当\(ln\frac{x_m}{A_n}=\frac{x_m}{A_n}-1\)，其中m=1,2,3.....,n，即对于任意m=1,2,3,.....m，都有\(ln\frac{x_m}{A_n}=0\)，即\(\frac{x_m}{A_n}=1\)，即\(x_m=A_n\)，即\(x_1=x_2=x_3=.....=x_n\)时取等。