Jensen 不等式

设函数 \(f(x)\)在定义域上为凸函数，即对于定义域内任意\(x_1,x_2\), 满足\(kf(x_1)+(1-k)f(x_2)≥f(kx_1+(1-k)x_2)\)，其中 \( 0 \le k \le 1\) 。对于这样的凸函数 \(f(x)\)，满足\( \sum_{i=1}^np_if(x_i)≥f(\sum_{i=1}^np_ix_i)\)，其中\(\sum_{i=1}^np_i=1,p_i≥0,x_i\)在定义域上  \(i = 1, 2, 3, \cdots, n\) 。

 

证明：令\(\sum_{i=1}^np_ix_i=A\)，显然\(A\)在函数 \(f(x)\)的定义域内。

$\sum_{i=1}^n p_i f(x_i)-f(A)= \sum_{i=1}^n p_i [f(x_i)-f(A)]=\sum_{i=1}^n p_i \int_A^{x_i} f' (x) dx$     ①

因为  \(f'(x)\) 为增函数，所以若 \(  A \le x_i )\) ,则有\(\int_A^{x_i}f'(x)dx≥f(A)(x_i-A)\)，同理若\(  A > x_i \)，有\(\int_A^{x_i}f'(x)dx≥f(A)(x_i-A)\)， 

所以

①$\le\sum_{i=1}^n p_i f'(A) (x_i-A) = f'(A)[\sum_{i=1}^n p_i (x_i-A)]=f'(A)(A-A)=0$

得证