[计算几何][分治]luogu P1429 平面最近点对（加强版）

题面

https://www.luogu.com.cn/problem/P1429

分析

考虑分治法

对x排序，设mid为x中位数的直线

设当前已经处理出x为1..mid,mid+1..r中的最近点对距离dist

那么新产生的最近点对必然跨过mid，即x坐标在mid-dist..mid+dist中

考虑在左侧选择一个点，那么可选的区域为一个半径为dist的圆，为了方便理解，我们将其处理为一个边长为2*dist的正方形

而这个正方形跨过mid的部分最大只能是一个宽为dist，长为2*dist的矩形

而前文提到过，最近点对距离已经为dist，所以该矩形中最多出现6个点，即每次对于选择的点，在另一侧中可以选择的点最多为6个

然后仍然是最近点对距离为dist，所以将所有点投影到x=mid的直线上，将纵向距离小于dist且位于另一侧的点与之配对，记录最小值

即按y值排序

排序复杂度为O(nlogn)，所以总复杂度为O(nlog^2n)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll Inf=1ll<<62;
const int N=2e6+10;
struct Point {
    ll x,y;
}p[N];
int n;

bool CMP_X(Point a,Point b) {return a.x<b.x;}

bool CMP_Y(Point a,Point b) {return a.y<b.y;}

inline ll Dist(Point a,Point b) {return pow(a.x-b.x,2)+pow(a.y-b.y,2);}

ll Calc(int l,int r) {
    if (r-l==0) return Inf;
    if (r-l==1) return Dist(p[l],p[r]);
    if (r-l==2) return min(Dist(p[l],p[r]),min(Dist(p[l],p[l+1]),Dist(p[r-1],p[r])));
    int mid=l+r>>1;
    ll mn=min(Calc(l,mid),Calc(mid+1,r));
    sort(p+l,p+r+1,CMP_X);
    int dl=mid,dr=mid;
    while (dl>=l&&pow(p[dl].x-p[mid].x,2)<=mn) dl--;dl++;
    while (dr<=r&&pow(p[dr].x-p[mid].x,2)<=mn) dr++;dr--;
    if (dl<=dr) sort(p+dl,p+dr+1,CMP_Y);
    for (int i=dl;i<dr;i++)
        for (int j=i+1;j<=min(i+7,dr);j++)
            mn=min(mn,Dist(p[i],p[j]));
    return mn;
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
    sort(p+1,p+n+1,CMP_X);
    printf("%.4lf",1.0*sqrt(Calc(1,n)));
}