图的搜索

深度优先搜索

  设无向图G，其中的所有顶点都标记为“没访问过”。选择G中的一个顶点v作为搜索起点，将v标记为“访问过”。然后，递归地搜索与v相邻但没有访问过的顶点。当访问完从v能到达的所有顶点之后，如果G中还有没访问过的结点，则再选一个没访问过的顶点作为新的搜索起点。

算法如下：

    // L[v] 表示关于顶点v的邻接表
    DFSTraverse(G)
    {
        T = Φ ; /*边集为空*/    
        count = 1; /*计数器*/
        for (all v in V)
            mark v "new";
        while(there exists a vertex v in V marked "new")
            Search(v);
    }
    
    void Search(v)
    {
        dfn[v] = count; /*对v编号，编号可以放在结点属性中*/
        count ++ ;
        mark v "old";
        for(each vertex w in L[v])
            if(w is marked "new")
                add(v,w) to T;
                Search(w);
    }
    
    

时间复杂度为O(max(n,e))

广度优先搜索

  当到达某一顶点v时，一次考察与v相邻的全部顶点，并访问其中没有访问过的顶点。

算法如下：

    BFSTraverse(G)
    {
        T = Φ ;
        count = 1;
        for(all v in V )
            mark v "new";
        while(there exists a vertex v in V marked "new")
            BSearch(v);
    }
    
    void BSearch(v)
    {
        MakeNull(Q); // 空队列
        bfn[v] = count;
        count ++;
        mark v "old";
        EnQueue(v,Q);
        while(!Empty(Q)) {
            v = Front(Q);
            DeQueue(Q);
            for(each w in L[v]) {
                if(w is marked "new") {
                    bfn[w] = count;
                    count ++ ;
                    mark w "old";
                    EnQueue(w,Q);
                    Insert((v,w),T);
                }
            }
        }
    }

无向图深度优先生成森林和广度优先生成森林

  在深度(广度)优先搜索过程中，按搜索的顺序对图中的顶点进行深度(广度)优先编号，将图G=(V,E)中的E分成树边和非树边两类。这样，由树边和树边所连顶点所组成的子图S=(V,T)，称其为G的深度(广度)优先生成森林。

  深度(广度)优先生成森林中的每棵树，叫做G的一棵深度(广度)优先生成树；它对应G的一个连通子图，称为G的一个连通分量。因此，如果一个无向图是连通的，那么只会得到一棵深度(广度)优先生成树。

• 深度优先生成森林

  分成树边和回退边。设v是当前访问过的顶点，若下一个搜索到的顶点w为new，则(v,w)为树边，若w为old且w是v的父亲，则此时(v,w)已经在T中，已经为树边了；若w是old，且dfn[v] - dnf[w] > 1，即w不是v的父亲，则(v,w)是回退边，用虚线表示。

• 广度优先生成森林

  分成树边和横边。树边是编号较小的顶点指向编号较大的顶点，横边是编号较大的顶点指向编号较小的顶点，横边有虚线表示。

有向图深度优先生成森林和广度优先生成森林

• 深度优先搜索

  所有边分成树边、向前边、回退边和横边四种。只有树边是用实线表示，它们的区别如下：

• 树边：搜索过程中， 边(v,w)，dfn[v] < dfn[w]，且v为old，w为new
• 向前边：和树边一样，只是v为old，w也为old
• 回退边：dfn[v] > dfn[w]，且v沿着树边向上能找到w
• 横边：找不到w

• 广度优先搜索

  分成树边、回退边和横边三类。与深度的区别是，横边可能从广度优先编号小的顶点指向编号大的顶点。