辗转相除法求最大公约数

辗转相除法求最大公约数

     设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数(a，b)的步骤如下：用b除a，得a＝bq......r1(0≤r)。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝r1q......r2 (0≤r2).若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1,……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为(a，b)。

从某处找的证明：

原理及其详细证明

　　在介绍这个方法之前，先说明整除性的一些特点（下文的所有数都是正整数，不再重覆），我们可以这样给出整除性的定义： 

　　对于二个自然数a和b，若存在正整数q，使a=bq，则a能被b整除，b为a的因子，a为b的倍数。 

　　如果a能被c整除，并且b也能被c整除，则c为a、b的公因数（公有因数）。 

　　由此我们可以得出以下推论： 

　　推论1、如果a能被b整除（a=qb），若k为正整数，则ka也能被b整除（ka=kqb） 

　　推论2、如果a能被c整除（a=hc），b也能被c整除（b=tc），则(a±b)也能被c整除 

　　因为：将二式相加：a+b=hc+tc=(h+t)c 同理二式相减：a－b=hc－tc=(h－t)c 

　　所以：(a±b)也能被c整除 

　　推论3、如果a能被b整除（a=qb），b也能被a整除（b=ta），则a=b 

　　因为：a=qb　b=ta　a=qta qt=1 因为q、t均为正整数，所以t=q=1 

　　所以：a=b

    辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数，在数值很大时尤其有用，而且应用在电脑程式上也十分简单。其理论如下: 

　　如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数，即 m=nq+r，则 gcd(m,n)=gcd(n,r)。 

　　证明是这样的: 设 a=gcd(m,n)，b=gcd(n,r) 

　　证明： 

　　∵a为m,n的最大公约数， 

　　∴m能被a整除，且n也能被a整除， 

　　∴由推论1得：qn也能被a整除， 

　　∴ 由推论2得：m-qn也能被a整除， 

　　又 ∵m-qn=r， 

　　∴r也能被a整除，即a为n和r的公约数（注意：还不是最大公约数） 

　　∵b为n和r的最大公约数，a为n和r的公约数 

　　∴a≤b， 

　　同理 

　　∵b为n, r的最大公约数， 

　　∴n能被b整除，且r也能被b整除， 

　　∴由推论1得：qn也能被b整除， 

　　∴由推论2得：qn+r也能被b整除， 

　　又∵m=qn+r， 

　　∴m也能被b整除，即b为m和n的公约数，（注意：还不是最大公约数） 

　　∵a为m,n的最大公约数，b为m和n的公约数， 

　　∴b≤a， 

　　由以上可知： 

　　a≤b与b≤a同时成立， 

　　故可得 

　　a=b， 

　　证毕。