汇思学 18国庆 数论
数论
1.快速幂
typedef long long LL; LL qpow(int a, int b) { //快速幂 LL res = 1; while (b) { if (b & 1) res = res * a % p; a = a * a % p; b >>= 1; } return res; } LL mul(int a, int b) { //快速乘 LL res = 0; while (b) { if (b & 1) res = (res + a) % p; a = (a + a) % p; b >>= 1; } return res; }
2.逆元
（1）费马小定理求逆元
若 p 是质数，且 p 不是 a 的约数
根据费马小定理有：ap - 1 ≡ 1 (mod p)
所以 a 的逆元 x = ap - 2
（2）欧拉定理求逆元
若 a 与 p 互质
根据欧拉定理有：aφ(p) = 1 (mod p)
所以 a 的逆元 x = aφ(p) - 1
3.最大公约数 gcd
（1）从大到小枚举
（2）分解质因数求解
（3）更相减损术 gcd(a, b) = gcd(a - b, b)
（4）辗转相除法 gcd(a, b) = gca(a % b, b)
int gcd(int x, int y) { return y == 0 ? x : gcd(x, x % y); }
4.最小公倍数 lcm
int lcm(int x, int y) { return x / gcd(x, y) * y; }
5.扩展欧几里德 exgcd
（1）ax + by = gcd(a, b)
（2）X = x + b/gcd * k, Y = y - a/gcd * k;
（3）ax + by != k*gcd(a, b） （k != 0） 此时无解
（4）令k = c/gcd(a, b)
相当于求 k * (ax + by) = gcd(a, b) * k
求出ax + by = gcd(a, b)后，将解乘k即可
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) { if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else { ex_gcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b); } }
6.同余
a ≡ b (mod p) → (a - b) mod p = 0;
ax ≡ 1 (mod b) 相当于 ax + by = 1
当 a , b 互质时有解
用 exgcd 求出一组一组解，然后再求出最小正整数解
7.同余方程组
考虑方程组 x ≡ r1(mod m1)
x ≡ r2(mod m2)
x = k1 * m1 + r1 = k2 * m2 + r2 → k1 * m1 - k2 * m2 = r2 - r1
相当于 ax + by = c
8.离散对数
9.线性筛素数
for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (!bz[i]) pri[++cnt] = i; for (int j = i; j <= cnt; ++j) { if (i * pri[j] > n) break; bz[i * pri[j]] = 1; if (i % pri[j] == 0) break; //保证了每个数只会被筛一次 //只会被自己最小的质因子筛掉 } }
10.欧拉函数
线性筛法求欧拉函数
//在筛素数时顺便求出欧拉函数 for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (!bz[i]) pri[++cnt] = i, phi[i] = i - 1; for (int j = 1; j <= cnt; ++j) { if (i * pri[j] > n) break; bz[i * pri[j]] = 1; if (i % pri[j] != 0) phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1); if (i % pri[j] == 0) { phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j]; break; } } }
11.组合数
（1）C(m, n) = m! / n!(m - n)!
例题：NOIP2016 D2T1 组合数问题
解：杨辉三角预处理，求二维前缀和 f[i][j] ，并在过程中对 k 取模，根据 f[i][j] 的值是否为 0 判断是否为 k 的倍数
（2）Lucas定理
（3）若数据范围不大（0 ≤ n ≤ m ≤ 105, 1 ≤ p ≤ 109），可直接预处理阶乘和阶乘的逆元，直接计算
（4）一些比较有用的公式
12.容斥原理
如图，总面积为 A + B + C - AC - AB - BC + ABC
容斥的重要功能就是化繁为简
13.斐波纳契数列
f[0] = f[1] = 1;
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
14.卡特兰数
C(1) = 1;
C(n) = C(1) * C(n - 1) + C(2) * C(n - 2) + …+ C(n - 1) * C(1);
通项公式：C(n + 1) = C(2n, n) - C(2n, n - 1);
15.错排
考虑一个有 n 个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么就称这样的一个排列为原排列的一个错排
n 个元素的错排记为 D(n)
D(1) = 0; D(2) = 1;
D(n) = (n - 1)(D(n - 1) + D(n - 2));
16.高斯消元
（1）用于解多元一次方程组
（2）异或高斯消元
相当于把加减换成异或，其实更简单一些
17.概率与期望
独立事件之间的概率和期望可以分别相加求解
（1）贝叶斯公式
P(B|A) 表示事件A一定发生的情况下，事件B发生的概率
当事件A，B有关联时，P(AB) = P(B|A) * P(A)
反之 P(AB) = P(A) * P(B)
（2）期望的可乘性
（3）DP类的期望题
DP方程一般设法：
f[i]表示 i 到终点的期望，按照i递减来推
f[i]表示起点到 i 点的期望，按照 i 递增来推
18.矩阵乘法
（1）运算公式
void mul() { //矩阵乘法 for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int k = 1; k <= m; ++k) { int r = a[i][k]; for(int j = 1; j <= l; ++j) c[i][j] += r * b[k][j]; } /* 另一种写法 若把三重循环中的i,j,k枚举顺序交换，速度可能慢几倍 for(int i=1;i<=h;i++) for(int j=1;j<=l;j++) for(int k=1;k<=ll;k++) c[i][k] += a[i][j] * b[j][k]; */ }
（2）矩阵快速幂加速
struct Mat { ll m[101][101]; } a, e; Mat Mul(Mat x, Mat y) { Mat c; for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) c.m[i][j] = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) for (int k = 1; k <= n; ++k) c.m[i][j] = c.m[i][j] % mod + x.m[i][k] * y.m[k][j] % mod; return c; } Mat pow(Mat x, ll y) { Mat ans = e; while (y) { if (y & 1) ans = Mul(ans, x); x = Mul(x, x); y >>= 1; } return ans; }
19.博弈论
咕咕咕。。。
已完结。。。
