洛谷 P1072 Hankson 的趣味题
题目描述
Hanks 博士是 BT ( Bio−Tech ，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson 。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1 和 c2 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数 a0,a1,b0,b1 ，设某未知正整数 x 满足：
1． x 和 a0 的最大公约数是 a1 ；
2． x 和 b0 的最小公倍数是 b1 。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x 。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
输入输出格式
输入格式：
第一行为一个正整数 n ，表示有 n 组输入数据。接下来的 n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0,a1,b0,b1 ，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0 能被 a1 整除， b1 能被 b0 整除。
输出格式：
共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x ，请输出 0 ；
若存在这样的 x ，请输出满足条件的 x 的个数；
输入输出样例
说明
【说明】
第一组输入数据， x 可以是 9,18,36,72,144,288 ，共有 6 个。
第二组输入数据， x 可以是 48,1776 ，共有 2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且 n ≤ 100 。
对于 100%的数据，保证有 1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且 n ≤ 2000 。
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思路：通过扩张欧几里德定理求解
1.gcd(x,a0)=a1 => gcd(x/a1,a0/a1)=1
2.x*b0/gcd(x,b0)=b1 => ①x*(b0/gcd*(x,b0))=b1
②gcd(x,b1/b0)=1
所以，x一定为b1的一个约数，那么直接从1到sqrt(b1)进行枚举，找到符合要求的x即可
#include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; int gcd(int x, int y) { int t; while(x % y) t = x % y, x = y, y = t; return y; } int main() { int a0, a1, b0, b1; int i, j, k, n, x, y, z, sum; scanf("%d", &n); for(i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d%d%d%d", &a0, &a1, &b0, &b1); x = a0/a1, y = b1/b0, z = (int)sqrt(b1*1.0); for(sum = 0, j = 1; j <= z; j++) if(b1%j == 0) { if(j%a1==0 && gcd(j/a1, x)==1 && gcd(b1/j,y)==1) sum++; if((b1/j)%a1==0 && gcd((b1/j)/a1,x)==1 && gcd(j,y)==1) sum++; } if(z*z==b1 && z%a1==0 && gcd(z/a1,x)==1 && gcd(z,y)==1) sum--; printf("%d\n", sum); } return 0; }
