洛谷 P1313 计算系数

　　　　　　洛谷 P1313 计算系数

题目描述

给定一个多项式 (by+ax)^k，请求出多项式展开后 xⁿ * y^m 项的系数。

输入输出格式

输入格式：

共一行，包含 55 个整数，分别为 a ,b ,k ,n ,ma,b,k,n,m ，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对 1000710007 取模后的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1 1 3 1 2

输出样例#1： 复制

3

说明

【数据范围】

对于 30\%30% 的数据，有 0 ≤k ≤100≤k≤10 ；

对于 50\%50% 的数据，有 a = 1,b = 1a=1,b=1 ；

对于 100\%100% 的数据，有 0≤k ≤1,000,0≤n, m≤k0≤k≤1,000,0≤n,m≤k ,且 n+m=k ,0 ≤a,b ≤1,000,000n+m=k,0≤a,b≤1,000,000 。

思路：要求 xⁿ * y^m 的系数，必然要计算 (by+ax)^k 中每一项的系数 

　　　那么问题来了，怎么求呢？？

　　　我们可以列几个式子来找找规律

　　当 a = b = 1 时：

　　　k = 0, (x + y)^k = 1

　　　k = 1, (x + y)¹ = x + y    各项系数为 1 1

　　　k = 2, (x + y)² = x² + 2xy + y²   各项系数为 1 2 1

　　　k = 3, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³   各项系数为 1 3 3 1

　　以此类推，我们可以发现：当 a = b = 1 时，各项系数满足“杨辉三角的分布规律”，由此可以得出：f [ i ][ j ] = f [ i-1 ][ j-1 ] + f [ i -1 ][ j ]

　　　这时候有的小盆友就要问了：那 a 和 b 不等于1时怎么算呢？？

　　　不知道大家有没有发现，上面的式子退出来后，是按 x 降幂排列的，也就是说每一项的 x 的指数是 k , k-1, k-2, ... 1, 0，而 y 的指数刚好相反

　　　所以我们可以按照 y 的指数来寻找 xⁿ * y^m 的系数是“杨辉三角”中当前行的第几个数字

　　　而后用这个数去乘 aⁿ * b^m，取余后即为题目中所要求的系数

 

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define Mod 10007
#define LL long long
using namespace std;
int a, b, k, n, m;
LL f[1005][1005];

LL pow(LL x, LL y) {    //快速幂求x^y
    int res = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) res = res * x % Mod;
        x = x % Mod;
        x = (x * x) % Mod;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> a >> b >> k >> n >> m;
    a %= Mod; b %= Mod;
    f[0][0] = 1; f[1][0] = 1; f[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= k; i++) {
        f[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-1][j]) % Mod;
    }
    int x = pow(a, n), y = pow(b, m);
    long long ans = f[k][m] * x * y % Mod;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}