均值不等式的待定系数法
由均值不等式
\[ab \le \dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)
\]
令 \(a=\sqrt{k}x,b=\dfrac{1}{\sqrt{k}}y,k>0\)，代入得：
\[xy \le \frac{1}{2} \left(k x^2 + \frac{1}{k} y^2\right)
\]
\[xy \le \frac{k}{2} x^2 + \frac{1}{2k} y^2
\]
当且仅当 \(x=\dfrac{y}{k}\) 时等号成立。
令 \(y = 1\)，则有：
\[x \le \frac{k}{2} x^2 + \frac{1}{2k}
\]
当且仅当 \(x=\dfrac{1}{k}\) 时等号成立。
【例】求下列式子的最大值。其中 \(a,b,c,d>0\)。
\[\frac{ab+2bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}
\]
【解】设 \(m,n,k>0\)，对于分子：
\[ab+2bc+cd \le \frac{m}{2}a^2+\frac{1}{2m}b^2+2\left(\frac{n}{2}b^2+\frac{1}{2n}c^2\right)+\frac{k}{2}c^2+\frac{1}{2k}d^2
\]
\[ab+2bc+cd \le \frac{m}{2}a^2+\left(\frac{1}{2m}+n\right)b^2+\left(\frac{1}{n}+\frac{k}{2}\right)c^2+\frac{1}{2k}d^2
\]
令 \(\dfrac{m}{2}:\left(\dfrac{1}{2m}+n\right):\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{k}{2}\right):\dfrac{1}{2k}=1:1:1:1\)，
其中 \(1:1:1:1\) 为分母各项的系数比，这样就可以恰好约分消去变量。
解得：\(m=\sqrt{2}+1,n=1,k=\sqrt{2}-1\)。
所以
\[ab+2bc+cd \le \frac{\sqrt{2}+1}{2}\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)
\]
\[\frac {ab+2bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2} \le \frac{\sqrt{2}+1}{2}
\]
取等条件为：
\[a=\frac{b}{m}=\frac{b}{\sqrt{2}+1},b=\frac{c}{n}=c,c=\frac{d}{k}=\frac{d}{\sqrt{2}-1}
\]
即
\[a=(\sqrt{2}-1)b=(\sqrt{2}-1)c=d
\]
