求最大公因数的两种算法及 C 语言实现

更相减损术

《九章算术》云：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
即：将较大数减去较小数，将所得的差与较小数进行同样操作，直到减数与差相等，此数即为最大公因数。

• 递归

int gcd(int a, int b) {
    if (a == b)
        return a;
    if (a > b)
        return gcd(a - b, b);
    return gcd(b, a); // 若 a < b, 则交换 a b, 直接进入下一层递归
}

• 循环

int gcd(int a, int b) {
    while (a != b) {
        if (a > b) { // 必需条件: a > b
            a = a - b;
        } else {  // 若 a < b, 则交换 a b
            // 不依赖第三个变量的交换
            a = a - b;
            b = a + b;
            a = b - a;
        }
    }
    return a;
}

辗转相除法

将较大数除以较小数，将余数和较小数进行同样操作，直到余数为零，除数即为最大公因数。

• 递归

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0)
        return a;
    if (a > b)
        return gcd(b, a % b);
    return gcd(a, b % a);
}

• 循环

int gcd(int a, int b) {
    int t;
    while (b != 0) {
        if (a > b) { // 必需条件: a > b
            t = a;
            a = b;
            b = t % b;
        } else { // 若 a < b, 则交换 a b
            // 不依赖第三个变量的交换
            a = a - b;
            b = a + b;
            a = b - a;
        }
    }
    return a;
}